Exercícios Resolvidos de Plano Tangente

Considere f x ,   y = x sen ⁡ x + y + 2 y .

  1. Determine a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto ( - 1 ,   1 ,   2 ) .
  2. Considerando x = x ( r ,   s ) e y = y ( r ,   s ) funções de classe C 1 nas variáveis r e s tais que x 1 ,   2 = π 6 , y 1 ,   2 = π 3 , ∂ x ∂ r 1 ,   2 = - 2 e ∂ y ∂ r 1,2 = 3 , mostre que se g r ,   s = f ( x r ,   s ,   y r ,   s ) , então ∂ g ∂ r = 4 para r ,   s = 1 ,   2 .

Passo 1

Item a) bem... para determinar esse plano, devemos seguir o passo a passo do plano tangente, se lembra dele?

  1. Vamos trocar esse f ( x ,   y ) por z
  2. z = x sen ⁡ x + y + 2 y

  3. Jogar tudo para o lado esquerdo
  4. - x sen ⁡ x + y - 2 y + z = 0

  5. Agora a gente vai nomear essa expressão imensa de F ( x ,   y ,   z )
  6. F x ,   y ,   z = - x sen ⁡ x + y - 2 y + z

  7. E calcular gradiente de F
  8. ∇ F x ,   y ,   z = ∂ F ∂ x , ∂ F ∂ y , ∂ F ∂ z

    Essa parte é a mais chatinha, pois devemos calcular essas derivadas parciais aí, mas... não tem por onde correr, então mão na massa:)

    Aplicando a regra do produto e a regra da cadeia...

    ∂ F ∂ x = - sen ⁡ x + y - x cos ⁡ ( x + y )

    ∂ F ∂ y = - x cos ⁡ x + y - 2

    ∂ F ∂ z = 1

  9. Não podemos esquecer de substituir o ponto nesse vetor gradiente
  10. ∇ F - 1 ,   1 ,   2 = - sen ⁡ - 1 + 1 - - 1 cos ⁡ - 1 + 1 ,   - - 1 cos ⁡ - 1 + 1 - 2 , 1

    Simplificando esses senos e cossenos...

    ∇ F - 1 ,   1 ,   2 = 1 ,   - 1 ,   1

    Passo 2

  11. Agora é só jogar na equação do plano :)

x - x 0 ,   y - y 0 ,   z - z 0 ∙ ∇ F x 0 ,   y 0 , z 0 = 0

x 0 ,   y 0   e   z 0 é o ponto onde estamos calculando o plano - 1 ,   1 ,   2

x + 1 ,   y - 1 ,   z - 2 ∙ ∇ F - 1 ,   1 ,   2 = 0

x + 1 ,   y - 1 ,   z - 2 ∙ 1 ,   - 1 ,   1 = 0

Resolvendo esse produto interno aí

x + 1 - y + 1 + z - 2 = 0

Simplificando vamos obter o plano;)

z = y - x

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Resposta

z = y - x

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