Exercícios Resolvidos de Plano Tangente

UFRJ, Cálculo 2, PF 2015.2, questão 3.

Seja f x , y uma função diferenciável no ponto ( 1,2 ) . Sabe-se que o plano tangente ao gráfico de f ( x , y ) no ponto ( 1,2 ) é dado por

x + 2 y + 3 z = 11

Quanto valem f x ( 1,2 ) , f y ( 1,2 ) e f ( 1,2 ) , respectivamente?

  1. - 1 3 ,   - 2 3   e   2
  2. - 1 3 ,   - 2 3   e   11
  3. 1 3 , 2 3   e   2
  4. 1 ,   2   e   11

Passo 1

Lembra da equação geral do plano tangente?

z = f x 0 , y 0 + f x x - x 0 + f y y - y 0

Nessa questão a gente só precisa comparar termo a termo da expressão do plano tangente ao gráfico da nossa função f ( x , y ) com essa expressão geral.

Mas, antes disso, precisamos fazer duas coisas:

  1. Abrir essa expressão geral do plano tangente
  2. Manipular nossa expressão do plano tangente de f ( x , y )
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Comecemos abrindo a expressão geral:

z = f x 0 , y 0 + f x x - x 0 + f y y - y 0

z = f x 0 , y 0 + f x . x - f x . x 0 + f y . y - f y . y 0

z = f x 0 , y 0 - f x . x 0 - f y . y 0 + f x . x + f y . y

Passo 3

Agora vamos fazer a expressão do plano tangente ao gráfico de f ficar parecida com isso:

x + 2 y + 3 z = 11

3 z = 1 1 - x - 2 y

z = 1 1 3 - 1 3 x - 2 3 y

Passo 4

Show, agora vamos comparar termo a termo dessas duas expressões:

z = f 1 , 2 - f x . 1 - f y . 2 + f x . x + f y . y

z = 11 3 - 1 3 x - 2 3 y

Teremos:

f 1 , 2 - f x . 1 - f y . 2 = 11 3

f x . x = - 1 3 x

f y . y = - 2 3 y

Assim,

f x = - 1 3

f y = - 2 3

f 1,2 = 11 3 + f x + 2 f y = 11 3 - 1 3 + 2 . - 2 3 = 6 3 = 2

Resposta

L e t r a   a

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