Exercícios Resolvidos de Plano Tangente

UNICAMP, Cálculo 2, P1 2011.1, 3b

Seja a função

f x , y = x 3 x 2 + y 2

  1. Verifique se o plano tangente ao gráfico de f em x = 1 ,   y = 1 passa pela origem.

Passo 1

  1. Vamos calcular o gradriente da função:

z = x 3 x 2 + y 2 → F x , y , z = x 3 x 2 + y 2 - z

∇ F x , y , z = 3 x 2 x 2 + y 2 - 2 x x 3 x 2 + y 2 2 ,   - 2 y x 3 x 2 + y 2 2 ,   - 1

No ponto 1,1 , 1 / 2   , temos:

∇ f 1,1 , 1 / 2 = 4 4 ,   - 2 4 , - 1 = 1 ,   - 1 2 , - 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Logo, a equação do plano tangente será:

1 ,   - 1 2 , - 1 x - 1 , y - 1 , z - 1 2 = 0

x - 1 2 y - z = 0

Substituindo para ver se 0,0 , 0 pertence ao plano, temos:

0 - 1 2 0 - 0 = 0

0 = 0

Portanto, o ponto 0,0 , 0 pertence ao plano tangente.

Resposta

b) O plano passa pela origem.

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