Exercícios Resolvidos de Plano Tangente

Suponha que o plano tangente ao gráfico da função diferenciável f   :   R 2 → R no ponto 1,1 ,   f 1,1 , seja dado por

z = x + 2 y - 1

Se a curva

γ t = t 2 ,   t ,   a + b t 3 + c t 6   ,   t > 0

Está no gráfico de f , então

  1. a - c = - 1
  2. a - c = 0
  3. a - c = 1
  4. a - c = 2
  5. a - c = 3

Passo 1

Dizer que a curva γ ( t ) está no gráfico de f significa dizer que a função pega x ( t ) e y ( t ) e retorna z ( t ) , assim

f x t , y t = z t

f t 2 ,   t = a + b t 3 + c t 6

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A outra informação que a questão nos dá é a respeito do plano tangente ao gráfico de f no ponto 1,1 ,   f 1,1 :

z = x + 2 y - 1

E a expressão genérica do plano tangente é

z = f x 0 , y 0 + f x x - x 0 + f y y - y 0

No ponto 1,1 ,   f 1,1 temos

z = f 1,1 + f x x - 1 + f y y - 1

z = f x x + f y y - 1 f x - 1 f y + f 1,1

Agora, comparando as duas expressões do plano tangente temos que

f x = 1

f y = 2

- f x - f y + f 1,1 = - 1 ⇒ f 1,1 = - 1 + f x + f y = - 1 + 1 + 2 = 2

Ótimo, então descobrimos o gradiente de f e o valor de f ( 1,1 , ) :

∇ f 1,1 = ( 1,2 )

f 1,1 = 2

Vamos guardar isso porque ainda não sei pra que vou usar, mas sei que essa era a conclusão que eu deveria tirar da informação do plano tangente que a questão deu.

Passo 3

Dito isso, voltemos a primeira informação: f t 2 ,   t = a + b t 3 + c t 6

Como a gente pode relacionar isso com vetor gradiente de f e f ( 1,1 ) ?

Se a gente tentar derivar dos dois lados, vamos cair em algo com vetor gradiente, então vamos tentar:

Derivando em ambos os lados em relação a t e usando a regra da cadeia pra derivar o lado esquerdo, temos

∇ f ⋅ γ ' t = 3 b t 2 + 6 c t 5

∇ f ∙ 2 t , 1 2 t = 3 b t 2 + 6 c t 5

Uhhul, relacionamos gradiente com a primeira informação da curva!

Passo 4

Mas, acontece que temos o vetor gradiente de f no ponto ( 1,1 ) e não num ponto genérico, como achamos no passo anterior.

Vamos então substituir o ponto ( 1,1 ) na relação que achamos. Pra isso, precisamos antes descobrir quanto vale t quando x , y = ( 1,1 ) ?

x t = t 2 = 1

y t =   t = 1

Assim

t = 1

Passo 5

Agora sim, vamos substituir:

∇ f 1,1 ∙ 2.1 , 1 2 1 = 3 b . 1 2 + 6 c . 1 5

Do passo 2:

1,2 ∙ 2 , 1 2 = 3 b + 6 c

Fazendo esse produto escalar:

2 + 1 = 3 b + 6 c

3 b + 6 c = 3

Tá, mas como que isso me ajuda a encontrar o a ??

É porque ainda precisamos substituir t = 1 em

f t 2 ,   t = a + b t 3 + c t 6

Assim

f 1 2 , 1 = a + b . 1 3 + c . 1 6

a + b + c = f 1,1 = 2

Aeeeeeeee, agora usamos o f ( 1,1 ) também.

Passo 6

Juntando as duas equações com a , b , c temos o sistema

a + b + c = 2

3 b + 6 c = 3

Isolando b na primeira equação:

b = 2 - a - c

E substituindo na segunda equação:

3 ( 2 - a - c ) + 6 c = 3

6 - 3 a - 3 c + 6 c = 3

- 3 a + 3 c = - 3

- a + c = - 1

Então

a - c = 1

Resposta

L e t r a   c

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