Exercícios Resolvidos de Plano Tangente

UFRJ, Cálculo 2, PF 2013.1, M.E. 3

Considere a superfície S =   x , y , z ∈ R 3 f x , y , z - 2 z = 0 }   e o ponto P 0 = x 0 , y 0 ,   z 0   ∈ S . O plano tangente a S em P 0 satisfaz a seguinte equação:

a) f x x 0 , y 0 , z 0 x - x 0 + f y x 0 , y 0 , z 0 y - y 0 + f z x 0 , y 0 , z 0 - 2 z - z 0 = 0

b) f x x , y , z x - x 0 + f y x , y , z y - y 0 + f z x , y , z - 2 z - z 0 = 0

c) z = z 0 + 1 2 f x x 0 , y 0 , z 0 x - x 0 + f y x 0 , y 0 , z 0 y - y 0

d) z = z 0 + 1 2 f x x , y , z x - x 0 + f y x , y , z y - y 0

e) Nenhuma das alternativas

Passo 1

Temos de calcular o plano tangente a S no ponto P 0 . Então,vai ficar assim:

∇ S P 0 x - x 0 , y - y 0 ,   z - z 0 = 0

Calculando o gradiente de S , temos:

∇ S = ∂ f x , y , z - 2 z ∂ x ,   ∂ f x , y , z - 2 z ∂ y ,   ∂ f x , y , z - 2 z ∂ z  

∇ S = f x x , y , z ,   f y x , y , z ,   f z x , y , z - 2  

No ponto P 0 :

∇ S P 0 = f x x 0 , y 0 , z 0 ,   f y x 0 , y 0 , z 0 ,   f z x 0 , y 0 , z 0 - 2  

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Substituindo:

∇ S P 0 x - x 0 , y - y 0 ,   z - z 0 = 0

f x x 0 , y 0 , z 0 x - x 0 + f y x 0 , y 0 , z 0 y - y 0 + f z x 0 , y 0 , z 0 - 2 z - z 0 = 0

Resposta

a) f x x 0 , y 0 , z 0 x - x 0 + f y x 0 , y 0 , z 0 y - y 0 + f z x 0 , y 0 , z 0 - 2 z - z 0 = 0

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