Exercícios Resolvidos de Plano Tangente

CEFET, Cálculo 2, Listas, Lista 1, Professor Roberto Thomé, questão 14, item c.

Encontrar a equação do plano tangente à superfície no ponto dado:

z = 9 - 5 x 2 - 3 y 2

P = ( 1 , - 1 )

Passo 1

Simples, apenas seguir o nosso passo-a-passo, lembra dele?

  1. Caso seja necessário, substituir f ( x , y ) por z na equação da superfície
  2. Jogar todas as variáveis para o lado esquerdo da equação
  3. Chamar de F x , y , z a expressão deixada no lado esquerdo da equação
  4. Calcular gradiente de F : F x , y , z
  5. Calcular gradiente de F no ponto P 0 : F P 0 = F x 0 , y 0 , z 0
  6. O vetor normal será n = F P 0
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Passo 2

Já temos f x , y = z , então podemos jogar todas as variáveis para o lado esquerdo:

z - 9 - 5 x 2 - 3 y 2 = 0

Passo 3

Vamos encontrar logo qual é a coordenada z do ponto dado no enunciado? É só a gente substituí-lo na expressão aqui de cima:

z - 9 - 5 x 2 - 3 y 2 = 0

No ponto P = ( 1 , - 1 , z 0 ) :

z 0 - 9 - 5 . 1 2 - 3 . - 1 2 = 0

z 0 - 1 = 0

z 0 = 1

Passo 4

Ok, agora temos que

F x , y , z = z - 9 - 5 x 2 - 3 y 2

Passo 5

Estamos prontos para calcular o vetor gradiente! Lembra da expressão dele?

F x , y , z = F x , F y , F z

Como F x , y , z = z - 9 - 5 x 2 - 3 y 2 ,

F x x , y , z = 5 x 9 - 5 x 2 - 3 y 2

F y x , y , z = 3 y 9 - 5 x 2 - 3 y 2

F z x , y , z = 1

Assim, nosso vetor gradiente, no ponto dado, P = 1 , - 1 , 1 , fica:

F x 0 , y 0 , z 0 = 5 x 0 9 - 5 x 0 2 - 3 y 0 2 , 3 y 0 9 - 5 x 0 2 - 3 y 0 2 , 1

F 1 , - 1,1 = 5.1 9 - 5.1 2 - 3 . - 1 2 , 3 . - 1 9 - 5.1 2 - 3 . - 1 2 , 1

F 1 , - 1,1 = 5 , - 3,1

Passo 6

Agora que temos o gradiente, temos o vetor normal ao plano tangente! Portanto, basta jogarmos na equação do plano e ele aparecerá! Lembra da equação do plano?

x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 n = 0

Colocando P = ( 1 , - 1,1 ) e n = F 1 , - 1,1 = 5 , - 3,1 teremos nosso plano:

x , y , z 5 , - 3,1 = ( 1 , - 1,1 )   5 , - 3,1

5 x - 3 y + z = 5 + 3 + 1

5 x - 3 y + z - 9 = 0

Resposta

Plano: 5 x - 3 y + z - 9 = 0

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