Seja f : R 2 → R uma função diferenciável. Sabendo que 2 x + 5 y + 7 z + 3 = 0 é a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto ( 2,5 ) , determine

1 .   f ( 2,5 ) ;

2 .   ∇ f ( 2,5 ) ;

3 . ∂ f ∂ u → ( 2,5 ) , onde u → é o versor do vetor v → = ( 5,2 ) .

4. a reta tangente ao gráfico da função g t = f 3 sin ⁡ t + t 4 + 2,2 cos ⁡ t + e - 5 t + 2 no ponto da abscissa t 0 = 0 .

5 . o plano tangente ao gráfico de h u , v = u f u + v , u - v no ponto 7 2 , - 3 2 , h 7 2 , - 3 2 .

Passo 1

Oiie, tudo bem contigo?

O enunciado pede para que obtenhamos alguns valores relativos à função f em um ponto específico, nas alternativas 1, 2 e 3. Estas informações serão úteis para calcularmos a reta e plano tangente pedido em 4 e 5. Vamos começar relembrando algumas propriedades das superfícies! Temos que uma superfície bidimensional pode ser descrita como:

z = f ( x , y )

Como temos que o plano 2 x + 5 y + 7 z + 3 = 0 é tangente a f no ponto ( 2,5 ) . Podemos obter o valor de f através da equação do plano, já que neste ponto específico, z da equação do plano é equivalente à f ( 2,5 ) . Saca só!

Passo 2

Isolando z na equação do plano temos

2 x + 5 y + 7 z + 3 = 0 → 7 z = - 2 x - 5 y - 3

Ou seja

z = f x , y = - 1 7 2 x + 5 y + 3           ( 1 )

No ponto ( 2,5 ) , temos

f 2,5 = - 1 7 2 2 + 5 5 + 3 = - 32 7

Okay! A primeira já foi! Vamos fazer as outras!

Passo 3

De cara vamos relembrar a definição de gradiente! Temos que

∇ f x , y = ∂ f ( x , y ) ∂ x   x ^ + ∂ f ( x , y ) ∂ y   y ^ = ∂ f ( x , y ) ∂ x , ∂ f ( x , y ) ∂ y

Se calcularmos então as derivadas parciais usando a equação (1) que obtivemos, temos

∇ f x , y = ∂ ∂ x - 1 7 2 x + 5 y + 3 , ∂ ∂ y - 1 7 2 x + 5 y + 3 = - 2 7 , - 5 7

Segunda já era! Bora bora para a terceira!

Passo 4

A primeira coisa aqui é saber quem diabos é u → . Mas o enunciado nos dá uma dica, ele informa que u → é versor do vetor v → = ( 5,2 ) . Okay, mas e daí? Por ser um versor de v → , podemos dizer que

u → = v → v → = 5,2 5 2 + 2 2

Resumindo

u → = ( 5,2 ) 25 + 4

Com isso em mãos, vamos tentar obter a nossa derivada direcional!

Passo 5

Como f é diferenciável, podemos escrever a derivada direcional na direção de um versor específico como

∂ f ( x , y ) ∂   u → = ∇ f x , y ⋅ u →

Se calcularmos então no ponto pedido, temos

∂ f ( 2 , 5 ) ∂   u → = ∇ f 2 , 5 ⋅ u → = - 2 7 , - 5 7 ⋅ ( 5,2 ) 25 + 4

Colocando constantes em evidência e aplicando o produto escalar, temos que

∂ f ( 2,5 ) ∂   u → = - 1 7 25 + 4 10 + 10 = - 20 7 25 + 4

Ou, só escrevendo mais bonitinho, temos

∂ f ( 2,5 ) ∂   u → = - 20 7 2 9

Quarta alternativa! Vamo que vamo!

Passo 6

Beleza, estão nos pedindo a reta tangente à g ( t ) em t = t 0 = 0 , portanto, como a equação paramétrica de uma reta é tal que

y = g t = t 0 + g ' t = t 0 x - x 0 = g 0 + g ' ( 0 ) x

Então precisamos saber quem é g ( 0 ) e quem é g ' ( 0 ) . Como temos que g t = f ( 3 sin ⁡ t + t 4 + 2,2 cos ⁡ t + e - 5 t + 2 ) , temos que em t = t 0 = 0 , obtemos o valor

g 0 = f 3 sin ⁡ 0 + 0 4 + 2,2 cos ⁡ 0 + e 0 + 2 = f 2,5

Como encontramos anteriormente, então temos que

f 2,5 = - 32 / 7

Agora vamos encontrar g ' ( t ) . Vem comigo!

Passo 7

Vamos identificar que g t = f   ο   γ ( t ) , em que γ = ( 3 sin ⁡ t + t 4 + 2,2 cos ⁡ t + e - 5 t + 2 ) pode ser identificado como uma curva, portanto

g ' t = ∇ f x , y ⋅ γ ' ( t )

Que em t = 0 pode ser escrita como

g ' 0 = ∇ f 2,5 ⋅ γ ' ( 0 )

Já temos o valor de ∇ f 2,5 = - 1 7 ( 2,5 ) . Agora vamos calcular o nosso γ ' ( t ) .

Passo 8

Derivando γ em função do parâmetro t , temos

γ ' t = ( 3 cos ⁡ t + 4 t 3 , - 2 sin ⁡ t - 5 e - 5 t )

Portanto, em t = 0 , temos

γ ' 0 = 3 , - 5

E usando na expressão que calculamos para g ' ( 0 ) , temos

g ' 0 = ∇ f 2,5 ⋅ γ ' 0 = - 1 7 2,5 ⋅ ( 3 , - 5 )

Que após aplicar o produto escalar, temos

g ' 0 = - 1 7 6 - 25 = 19 7

Resumindo tudo na equação da reta tangente, temos

y = g 0 + g ' 0 x = - 32 7 + 19 7 x

Agora falta só a última alternativa! Bora lá!

Passo 9

Queremos encontrar a equação do plano tangente no ponto dado. Ou seja

π : ( z - z 0 ) = a u - u 0 + b v - v 0

Como temos que f é diferenciável, então h é diferenciável, e a equação do plano tangente toma a forma

π : ( h ( u , v ) - h u 0 , v 0 ) = ∂ h u 0 , v 0 ∂ u u - u 0 + ∂ h ( u 0 , v 0 ) ∂ v v - v 0

Temos que o ponto de coordenadas x 0 , y 0 , z 0 = u 0 + v 0 , u 0 - v 0 , h 7 2 , - 3 2 , portanto, precisamos calcular h u 0 , v 0 , e as derivadas parciais apresentadas acima! Vamos fazer isso!

Passo 10

Vamos começar com h u 0 , v 0 = h 7 2 , - 3 2 , temos que

h u , v = u f u + v , u - v

Portanto,

h u 0 , v 0 = 7 2 f 7 2 - 3 2 , 7 2 - - 3 2 = 7 2 f 2,5

Usando o valor de f ( 2,5 ) que já calculamos, temos

h u 0 , v 0 = 7 2 - 32 7 = - 16

Beleza! Vamos trabalhar um pouco com as derivadas parciais agora!

Passo 11

Vamos começar com a derivada parcial em relação a x , usando a regra da cadeia, temos

∂ h u , v ∂ u = ∂ ∂ u u   f ( u + v , u - v ) = f u + v , u - v + u ∂ f u + v , u - v ∂ u             ( 2 )

Expandindo, temos que

∂ f u + v , u - v ∂ u = ∂ f x = u + v , y = u - v ∂ x ∂ ( u + v ) ∂ u + ∂ f x = u + v , y = u - v ∂ y ∂ ( u - v ) ∂ u  

Resumindo temos que

∂ f u + v , u - v ∂ u = ∇ f x = u + v , y = u - v ⋅ ( 1,1 )

Que aplicando o ponto que desejamos, nos dá

∇ f x = 7 2 - 3 2 , y = 7 2 - - 3 2 ⋅ 1,1 = ∇ f 2,5 ⋅ 1.1 = - 2 7 - 5 7

Ou seja

∂ f u + v , u - v ∂ u = - 1

Se usarmos este resultado em ( 2 ) temos que

∂ h u , v ∂ u = f 2 , 5 - 7 2 = - 32 7 - 7 2 = - 64 + 49 14 = - 113 14

Temos que repetir o processo para a achar a outra derivada parcial necessária! Vamos lá!

Passo 12

Começando a partir de

∂ h ( u , v ) ∂ v = ∂ ∂ v u   f ( u + v , u - v ) = u ∂ f u + v , u - v ∂ v            

Que pode ser rescrita da seguinte forma quando aplicamos a regra da cadeia

∂ f u + v , u - v ∂ v = ∂ f x = u + v , y = u - v ∂ x ∂ u + v ∂ v + ∂ f x = u + v , y = u - v ∂ y ∂ u - v ∂ v

Resumindo, temos

∂ h ( u , v ) ∂ v = u ∇ f x , y ⋅ ( 1 , - 1 )

Como vimos anteriormente, em v 0 = - 3 / 2 e u 0 = 7 / 2 , temos que ∇ f x 0 , y 0 = ∇ f 2,5 = - 1 7 2,5 . Portanto, temos que

∂ h ( u 0 , v 0 ) ∂ v = 7 2 - 1 7 2,5 ⋅ 1 , - 1 = - 1 2 2 - 5

Ou seja

∂ h ( u 0 , v 0 ) ∂ v = 3 2

A equação do plano é então

π : h u , v + 16 = - 113 14 u - 7 2 + 3 2 v + 3 2

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchauzinho

Resposta

f 2,5 = - 32 7

∇ f 2,5 = - 2 7 , - 5 7

∂ f ∂ u →   = - 20 7 29

y = - 32 7 + 19 7 x

π : h u , v + 16 = - 113 14 u - 7 2 + 3 2 v + 3 2

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