Exercícios Resolvidos de Plano Tangente

Seja g : R 2 → R uma função de classe C ∞ com plano tangente ao gráfico no ponto 1,2 ,   g 1,2 descrito pela equação

4 x - 45 y + 4 z + 60 = 0

(a) Determine g ( 1,2 ) e ∇ g 1,2

(b) Se h : R 3 → R é dada por

h x , y , z = z g x - y , y

determine o plano tangente à superfície

S = x , y , z ∈ R 3   ; h x , y , z = - 13

No ponto 3,2 , - 2 .

Passo 1

a )

O enunciado nos dá a equação do plano tangente a g em 1,2 ,   g 1,2 :

4 x - 45 y + 4 z + 60 = 0

Agora não tem mistério, só precisamos da equação do plano tangente, lembra como é? No ponto ( 1,2 ,   g 1,2 ) vai ser:

z = ∂ g ∂ x 1,2 . x - 1 + ∂ g ∂ y 1,2 . y - 2 + g 1,2

E isso tem que ser igual a equação que a questão nos dá.

Então, vamos primeiro reorganizar a equação do plano tangente da nossa função g pra ficar no mesmo formato dessa equação genérica ai:

4 x - 45 y + 4 z + 60 = 0 ⇒ z = - x + 45 4 y - 15

Beleza, agora vamos igualar as duas equações:

z = ∂ g ∂ x 1,2 . x - 1 + ∂ g ∂ y 1,2 . y - 2 + g 1,2 = - x + 45 4 y - 15

Os termos multiplicando x e y são as derivadas parciais:

∂ g ∂ x 1 , 2 . x = - 1 x

∂ g ∂ y 1 , 2 . y = 45 4 y

Logo:

∂ g ∂ x 1,2 = - 1

∂ g ∂ y 1,2 = 45 4

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Passo 2

Tá, mas ainda falta g ( 1,2 ) e eu sei que sua mão tá coçando pra dizer que g 1,2 = - 15 .

Mas nesse momento você precisa ter muita atenção!

Repara que na equação genérica, temos que as derivadas parciais estão multiplicando x e y , mas também o - 1 e - 2 que estão dentro do parênteses, e na equação do nosso plano mesmo, as derivadas parciais só multiplicam x e y .

Isso acontece porque na nossa equação do plano tangente, essa multiplicação já foi feita e as constantes que resultaram dela estão incorporadas nesse - 15 que aparece nele. Ou seja

- 15 = g 1,2 + ∂ g ∂ x 1,2 . - 1 + ∂ g ∂ y 1,2 . - 2

- 15 = g 1,2 - 1 . - 1 + 45 4 . - 2

g 1,2 = - 15 - 1 + 45 2

g 1,2 = 13 2  

Passo 3

b )

Vamos com calma tentar entender porque parece que ele falou falou, mas não falou nada.

A nossa função h é

h x , y , z = z g x - y , y

Repare que nossa g agora é uma função composta. É como se tivéssemos

g ( x , y )

x = x - y

y = y

Tranquilo?!

Beleza, temos nossa h e queremos o plano tangente a superfície h x , y , z = - 13 , ou seja, a superfície

h x , y , z = z g x - y , y = - 13

No ponto 3,2 , - 2 .

Vamos então seguir o passo a passo de plano tangente.

Passo 4

A primeira coisa a se fazer é jogar tudo para a esquerda na equação da superfície e chamar de F ( x , y , z ) :

F x , y , z = z g x - y , y + 13 = h x , y , z + 13

Agora precisamos achar o gradiente dessa F :

∇ F = ∂ h ∂ x , ∂ h ∂ y , ∂ h ∂ z

Acontece que nossa função h é o produto da variável z por uma função composta g ( x ' , y ' ) , onde x ' = x - y

y ' = y

Então, para achar as derivadas parciais disso em relação a x e y , precisaremos usar a regra da cadeia. Assim

∂ h ∂ x = z ∂ g ∂ x = z ∂ g ∂ x ' ∂ x ' ∂ x + ∂ g ∂ y ' ∂ y ' ∂ x

E

∂ h ∂ y = z ∂ g ∂ y = z ∂ g ∂ x ' ∂ x ' ∂ y + ∂ g ∂ y ' ∂ y ' ∂ y

Passo 5

Vamos calcular as derivadas parciais de x e de y :

x ' = x - y

∂ x ' ∂ x = 1

∂ x ' ∂ y = - 1

E

y ' = y

∂ y ' ∂ x = 0

∂ y ' ∂ y = 1

E as derivadas parciais de g , a principio, não podemos calcular porque não temos a expressão de g .

Beleza, mas vamos substituir o que já temos:

∂ h ∂ x = z ∂ g ∂ x ' = z ∂ g ∂ x ' 1 + ∂ g ∂ y ' 0 = z ∂ g ∂ x '

E

∂ h ∂ y = z ∂ g ∂ y = z ∂ g ∂ x ' ( - 1 ) + ∂ g ∂ y ' 1

Passo 6

Ok, mas precisamos dessas derivadas no ponto ( 3,2 , - 2 ) . Mas para isso, precisamos saber quais são os valores correspondentes de x ’ e y ' :

x ' = x - y ⇒ x ' = 3 - 2 = 1

y ' = y ⇒ y ' = 2

Assim, para calcular as derivadas parciais de h no ponto ( 3,2 , - 2 ) , precisamos das derivadas parciais de g em ( 1,2 ) .

Assim,

∂ h ∂ x   3,2 , - 2 = - 2 ∂ g ∂ x ' ( 1,2 )

∂ h ∂ y = - 2 - ∂ g ∂ x ' ( 1 , 2 ) + ∂ g ∂ y ' ( 1,2 )

Ora bolas, mas as derivadas parciais de g em ( 1,2 ) nós já descobrimos na letra a .

∂ g ∂ x 1,2 = - 1

∂ g ∂ y 1,2 = 45 4

Substituindo isso então:

∂ h ∂ x   3,2 , - 2 = - 2 - 1 = 2

∂ h ∂ y = - 2 - - 1 + 45 4 = - 49 2

Passo 7

Uhulis, achamos as derivadas parciais de h em relação a x e y , mas lembra qual era o vetor gradiente que estávamos procurando? Era esse aqui:

∇ F = ∂ h ∂ x , ∂ h ∂ y , ∂ h ∂ z

Então ainda falta achar a derivada parcial de h em relação a z .

Mas essa é mais fácil:

h x , y , z = z g x - y , y

∂ h ∂ z = 1 g x - y , y

No ponto ( 3,2 , - 2 ) :

∂ h ∂ z 3,2 , - 2 = g 1 , 2 = 13 2

Que também achamos na letra a .

Assim, nosso vetor gradiente é

∇ F = ∂ h ∂ x , ∂ h ∂ y , ∂ h ∂ z = 2 ,   - 49 2 , 13 2

Passo 8

Show, agora é só substituir na equação do plano tangente no ponto ( 3,2 , - 2 ) :

x - 3 , y - 2 , z + 2 ∙ ∇ F = 0

x - 3 , y - 2 , z + 2 ∙ 2 ,   - 49 2 , 13 2 = 0

2 x - 3 - 49 2 y - 2 + 13 2 z + 2 = 0

Resposta

a )

∂ g ∂ x 1,2 = - 1

∂ g ∂ y 1,2 = 45 4

g 1,2 = 13 2

b )

2 x - 3 - 49 2 y - 2 + 13 2 z + 2 = 0

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