Considere as superfícies do paraboloide S f : f x ,   y ,   z = x 2 + y 2 - z = 3 , o plano S g : g x ,   y ,   z = x + 2 y - 3 z = 6 e o ponto P 0 = ( 1 ,   1 ,   - 1 ) .

a) O plano tangente para a reta normal ao paraboloide, passando por P 0

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado pediu pra gente determinar a equação do plano tangente para a reta normal ao paraboloide x 2 + y 2 - z = 3 , que passa pelo ponto P 0 = ( 1 ,   1 ,   - 1 ) .

Então, o que nós precisamos fazer é determinar a equação geral do plano, que depende de um vetor normal a superfície n → = ( a ,   b ,   c ) e um ponto conhecido, que no caso é P 0 = 1 ,   1 ,   - 1 = ( x 0 ,   y 0 ,   z 0 ) . A equação tem a forma:

a x + b y + c z = a x 0 + b y 0 + c z 0

Mas nós não conhecemos o vetor normal n → = ( a ,   b ,   c ) . Então, nós vamos determinar as coordenadas desse vetor calculando o gradiente da função no ponto P 0 :

∇ f ( x ,   y ,   z ) = d f d x , d f d y , d f d z

Assim, n → = ∇ f ( P 0 ) .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando o gradiente para determinar nosso vetor normal. Temos:

∇ f x ,   y ,   z = d d x x 2 + y 2 - z , d d y x 2 + y 2 - z , d d z x 2 + y 2 - z

Calculando essas derivadas:

∇ f x ,   y ,   z = ( 2 x ,   2 y ,   - 1 )

Agora vamos substituir as coordenadas de P 0 = 1 ,   1 ,   - 1 para obter:

n → = ∇ f P 0 = ( 2 ∙ 1 ,   2 ∙ 1 ,   - 1 )

n → = ∇ f P 0 = ( 2 ,   2 ,   - 1 )

E encontramos nosso vetor normal.

Agora basta escrevermos a equação geral do plano usando a fórmula:

a x + b y + c z = a x 0 + b y 0 + c z 0

Onde a , b e c são as coordenadas do vetor normal e x 0 , y 0 e z 0 são as coordenadas do ponto P 0 . Assim,

2 x + 2 y - z = 2 ∙ 1 + 2 ∙ 1 + ( - 1 ) ( - 1 )

2 x + 2 y - z = 6

E encontramos nosso resultado.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

2 x + 2 y - z = 6

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