Exercícios Resolvidos de Plano Tangente

Seja z = f ( x , y ) uma função diferenciável em R 2 . Considere um ponto P = ( x 0 , y 0 ) sobre a curva de nível C em que f = 1 . Sabendo que o plano tangente ao gráfico de f em ( x 0 , y 0 , 1 ) é dado pela equação

3 x - 8 y + z - 7 = 0

E que u = ( a , b ) é um vetor tangente a C então é correto afirmar que:

  1. 3 a - 8 b = 0
  2. 8 a - 3 b = 0
  3. 3 a + b = 8
  4. 3 a - 8 b = 1
  5. 8 a - 3 b = 1

Passo 1

Se u é um vetor tangente a C , que é uma curva de nível de f , então ele é um vetor perpendicular ao vetor gradiente de f , que é um vetor normal à curva de nível de uma função.

A gente não tem a expressão de f para calcular o gradiente, mas temos o plano tangente a f em ( x 0 , y 0 , 1 ) :

3 x - 8 y + z - 7 = 0

Se compararmos com a equação do plano:

f x x - x 0 + f y y - y 0 + f z z - z 0 = 0

Vemos que os coeficientes que estão multiplicando x , y ,   z são os termos do nosso vetor gradiente.

Assim, temos

∇ f = ( 3 , - 8,1 )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, como vimos no passo 1, esse vetor tem que ser perpendicular ao vetor u , e o produto escalar entre dois vetores perpendiculares vale zero,assim:

3 , - 8 ∙ a , b = 0

3 a - 8 b = 0

Resposta

Letra ( a )

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