Exercícios Resolvidos de Plano Tangente

Encontre as equações dos planos tangentes ao gráfico de

f x , y = 24 - x 2 + y 2

Que passam por ambos os pontos ( 2,0 , 0 ) e ( 3,0 , 4 ) .

Passo 1

Bom, equação do plano tangente é aquele mesmo processo de sempre. Então bora usar o passo a passo de plano tangente e substituir f ( x , y ) por z , chamar tudo de F ( x , y , z ) e achar o vetor gradiente dessa F .

f x , y = z = 24 - x 2 + y 2

Então,

F x , y , z = 24 + x 2 + y 2 - z

f x x , y = - 2 x

f y x , y = 2 y

f z x , y = - 1

E agora temos o nosso vetor gradiente num ponto x 0 , y 0 , z 0 da superfície:

∇ F x 0 , y 0 , z 0 = - 2 x 0 , 2 y 0 , - 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Ok, e agora? A questão não só não nos deu o ponto de tangência x 0 , y 0 , z 0 do plano, como nos pediu os possíveis! Mas calma, ela disse que tanto o ponto 2,0 , 0 como o 3,0 , 4 pertencem aos planos tangentes. E o que isso significa? Então, lembra daquele vetor genérico que sempre criamos para a equação do plano, x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 ? As primeira coordenadas, x   ,   y e z , eram de pontos que formavam o plano, sendo que as segundas, eram do ponto de tangência, certo? Como agora temos as coordenadas x ,   y e z , de dois pontos que foram dados pelo enunciado, ainda podemos descobrir a equação do plano!

Assim, vamos montar duas equações: uma dizendo que o produto escalar entre o vetor gradiente e o vetor 2 - x 0 , 0 - y 0 , 0 - z 0 é 0 , e outra dizendo que o produto escalar entre o vetor gradiente e o vetor 3 - x 0 , 0 - y 0 , 4 - z 0 é 0 .

Então, poderemos descobrir as coordenadas dos pontos de tangência, e a equação dos dois planos!

∇ F x , y , z . 2 - x 0 , 0 - y 0 , 0 - z 0 = 0 ∇ F x , y , z . 3 - x 0 , 0 - y 0 , 4 - z 0 = 0

Passo 3

Desenvolvendo a primeira,

- 2 x 0 , 2 y 0 , - 1 . 2 - x 0 , 0 - y 0 , 0 - z 0 = 0

- 4 x 0 + 2 x 0 . x 0 - 2 y 0 . y 0 + z 0 = 0

Desenvolvendo a segunda, temos:

- 2 x 0 , 2 y 0 , - 1 . 3 - x 0 , 0 - y 0 , 4 - z 0 = 0

- 6 x 0 + 2 x 0 . x 0 - 2 y 0 . y 0 - 4 + z 0 = 0

Como sabemos que z = 24 - x 2 + y 2 , então:

z 0 = 24 - x 0 2 + y 0 2

E o nosso sistema fica:

- 4 x 0 + 2 x 0 2 - 2 y 0 2 + z 0 = 0 - 6 x 0 + 2 x 0 2 - 2 y 0 2 - 4 + z 0 = 0

- 4 x 0 + 2 x 0 2 - 2 y 0 2 + 24 - x 0 2 + y 0 2 = 0 - 6 x 0 + 2 x 0 2 - 2 y 0 2 - 4 + 24 - x 0 2 + y 0 2 = 0

Que vale:

- 4 x 0 + x 0 2 - y 0 2 + 24 = 0 - 6 x 0 + x 0 2 - y 0 2 + 20 = 0

Passo 4

Resolvendo o sistema

- 4 x 0 + x 0 2 - y 0 2 + 24 = 0 - 6 x 0 + x 0 2 - y 0 2 + 20 = 0

podemos subtrair a primeira equação da segunda, e teremos:

- 2 x 0 = 4

x 0 = - 2

Colocando esse valor em qualquer uma das duas, por exemplo, na primeira, teremos:

- 4 . ( - 2 ) + - 2 2 - y 0 2 + 24 = 0

y 0 2 = 36

y 0 = ± 6

E teremos, colocando esses dois valores na equação do z 0 ,

z 0 = 24 - x 0 2 + y 0 2

z 0 = 24 - - 2 2 + ± 6 2

z 0 = 5 6

E nossos dois pontos de tangência são - 2 , 6 , 56 e - 2 , - 6 , 5 6 !

Passo 5

Agora sim! Como sabemos em quais pontos os planos são tangentes, vamos criar dois vetores genéricos, um para cada plano, x + 2 , y - 6 , z - 5 6 e x + 2 , y + 6 , z - 5 6 .

Fazendo o produto escalar entre o vetor gradiente da superfície - 2 x 0 , 2 y 0 , - 1 , calculado no primeiro ponto e o primeiro vetor genérico, teremos:

- 2 ( - 2 ) , 2 . 6 , - 1 .   x + 2 , y - 6 , z - 56 = 0

4 x + 8 + 12 y - 7 2 - z + 5 6 = 0

4 x + 12 y - z = 8

Fazendo o produto escalar entre o vetor gradiente e o segundo vetor genérico, teremos:

- 2 ( - 2 ) , 2 . ( - 6 ) , - 1 . x + 2 , y + 6 , z - 56 = 0

4 x + 8 - 12 y - 72 - z + 56 = 0

4 x - 12 y - z = 8

Resposta

4 x + 12 y - z = 8

4 x - 12 y - z = 8

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