Exercícios Resolvidos de Plano Tangente

Plano Tangente e Reta Normal

A equação do plano tangente à superfície

z = 4 - x 2 - 2 y 2

no ponto ( 1 , - 1 ,   1 ) é igual a:

(a) 3 x - 2 y - z = 9

(b) 2 x - 2 y + z = 5

(c) x - 2 y + 2 z = 5

(d) x - 2 y + z = 4

(e) nenhuma das outras alternativas

Passo 1

Uma questão típica de plano tangente, basta seguir o passo a passo!

Vamos começar pegando a equação da superfície, jogando tudo pro mesmo lado, deixando zero do outro:

4 - x 2 - 2 y 2 - z = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora a gente chama o lado esquerdo dessa equação de f ( x , y , z ) :

f x , y , z = 4 - x 2 - 2 y 2 - z

Assim, a equação da superfície é

f x , y , z = 0

Passo 3

Precisamos do gradiente da f , então vamos calcular as derivadas parciais!

Usando a regra da cadeia, temos

∂ f ∂ x x , y , z = 1 2 4 - x 2 - 2 y 2 - 1 2 0 - 2 x - 0 - 0

⇒   ∂ f ∂ x x , y , z = - 2 x 2 4 - x 2 - 2 y 2  

Pra derivada parcial em relação a y :

∂ f ∂ y x , y , z = 1 2 4 - x 2 - 2 y 2 - 1 2 0 - 0 - 4 y - 0

⇒ ∂ f ∂ y x , y , z = - 4 y 2 4 - x 2 - 2 y 2

Finalizando:

∂ f ∂ z x , y , z = 0 - 1 = - 1

Show, então o gradiente da f é:

∇ f x , y , z = - 2 x 2 4 - x 2 - 2 y 2 , - 4 y 2 4 - x 2 - 2 y 2 , - 1

E no ponto ( 1 , - 1 ,   1 ) , que é o que nos interessa:

∇ f 1 , - 1 ,   1 = - 2 2 4 - 1 - 2 , 4 2 4 - 1 - 2 , - 1

⇒ ∇ f 1 , - 1 ,   1 = ( - 1 ,   2 , - 1 )

E esse vetor gradiente nada mais é que o vetor normal à superfície no ponto ( 1 , - 1 ,   1 ) !

Passo 4

Ótimo! Vamos aplicar a fórmula do plano tangente à superfície no ponto ( 1 , - 1 ,   1 ) :

x , y , z ⋅ ∇ f 1 , - 1 ,   1 = 1 , - 1 ,   1 ⋅ ∇ f 1 , - 1 ,   1

⇒     x , y , z ⋅ - 1 ,   2 , - 1 = 1 , - 1 ,   1 ⋅ ( - 1 ,   2 , - 1 )

⇒   - x + 2 y - z = - 1 - 2 - 1 = - 4

Multiplicando tudo por - 1 , obtemos

x - 2 y + z = 4

que é a alternativa (d)! :)

Resposta

Alternativa (d)

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