Exercícios Resolvidos de Plano Tangente

Plano Tangente e Reta Normal

Determine a equação do plano tangente à superfície z + 1 = x e y cos ⁡ z no ponto ( 1,0 , 0 ) .

Passo 1

Vamos primeiro lembrar a equação do plano tangente ao gráfico de uma função de várias variáveis f em um ponto P 0 . Há várias maneiras de se escrever essa equação, e uma é:

x , y , z ⋅ ∇ f P 0 = P 0 ⋅ ∇ f ( P 0 )

Observação: nessa equação são produtos escalares!

Bem, dito isso, agora vamos continuar! :)

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Passo 2

Nos deparando com a equação de uma superfície, a dica é sempre passar tudo pro mesmo lado, deixando 0 do outro. Então a superfície vai ser:

x e y cos ⁡ z - z - 1 = 0

Beleza, agora vamos chamar o lado esquerdo dessa equação de F ( x , y , z ) pra facilitar nossa vida, ok?

F x , y , z = x e y cos ⁡ z - z - 1

Passo 3

Agora vamos calcular as derivadas parciais pra achar o gradiente da F :

∂ F ∂ x x , y , z = e y cos ⁡ z - 0 - 0

∂ F ∂ y x , y , z = x e y cos ⁡ z - 0 - 0

∂ F ∂ z = x e y - s e n   z - 1 - 0

Logo, o gradiente da F vai ser:

∇ F x , y , z = ( e y cos ⁡ z , x e y cos ⁡ z ,   - x e y s e n   z - 1 )

Mas o ponto que nos interessa é o ponto 1,0 , 0 , é o nosso ponto P 0 . Então vamos calcular o gradiente da F nesse ponto:

∇ F 1,0 , 0 = 1 2 , 1 3 , 0 - 1 = ( 1 ,   1 , - 1 )

Passo 4

Agora vamos aplicar o que achamos naquela fórmula do começo! :D

x , y , z ⋅ ∇ f P 0 = P 0 ⋅ ∇ f ( P 0 )

Com P 0 = ( 1,0 , 0 ) e ∇ f P 0 = ( 1,1 , - 1 ) , temos:

x , y , z ⋅ 1,1 , - 1 = 1,0 , 0 ⋅ ( 1,1 , - 1 )

⇒   x + y - z = 1

Essa é a equação do plano tangente à superfície z + 1 = x e y cos ⁡ z no ponto ( 1,0 , 0 ) .

Resposta

x + y - z = 1

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