Exercícios Resolvidos de Plano Tangente

Determine todos os pontos da superfície de nível 1 da função

g x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

Em que seu plano tangente é paralelo ao plano

2 x + y - 3 z = 2

Passo 1

Temos a função

g x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 = 1

Jogando tudo para o lado esquerdo e chamando de F ( x , y , z ) , temos

F x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 - 1 = 0

O plano tangente a essa superfície terá como vetor normal o vetor gradiente de F .

Vamos calcular esse vetor gradiente:

∇ F = ( 2 x , 2 y , 2 z )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Beleza, normalmente a gente teria que substituir o ponto de tangencia P 0 nesse vetor gradiente. Acontece que esse ponto é justamente o que a questão tá pedindo pra gente.

Pra encontra-lo, então, vamos ter que usar a segunda informação que a questão nos dá. Que é sobre o plano tangente ter que ser paralelo ao plano

2 x + y - 3 z = 2

Pra isso acontecer, temos que o vetor normal ao plano tangente e o vetor normal a esse plano tem que ser paralelos.

O vetor normal a essa plano aí é

n = ( 2,1 , - 3 )

Para ele ser paralelo ao vetor gradiente, eles tem que ser múltiplos:

∇ F x 0 , y 0 , z 0 = λ ( 2,1 , - 3 )

( 2 x 0 , 2 y 0 , 2 z 0 ) = λ ( 2,1 , - 3 )

Ficamos com o sistema:

2 x 0 = 2 λ 2 y 0 = λ 2 z 0 = - 3 λ

Passo 3

Para resolver esse sistema, vamos começar substituindo a segunda equação, na primeira:

2 x 0 = 2 λ

2 x 0 = 2 ( 2 y 0 )

y 0 = x 0 2

Agora, substituindo a segunda na terceira:

2 z 0 = - 3 λ

2 z 0 = - 3 ( 2 y 0 )

z 0 = - 3 x 0 2

Assim, temos os pontos:

x 0 , x 0 2 , - 3 x 0 2

Passo 4

Agora, para descobrir qual esse valor de x 0 , temos que lembrar que esse ponto pertence não só ao plano tangente, mas também a superfície de nível

g x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 = 1

Que é a superficia a qual o plano é tangente.

Assim, o ponto

x 0 , x 0 2 , - 3 x 0 2

Deve satisfazer também a equação da superfície. Então,

x 0 2 + y 0 2 + z 0 2 = 1

x 0 2 + x 0 2 2 + - 3 x 0 2 2 = 1

14 4 x 0 2 = 1

x 0 = ± 2 14

Assim, temos dois pontos onde o plano tangente é paralelo ao plano dado no problema, que são os pontos

2 14 , 1 14 , - 3 14

E

- 2 14 , - 1 14 , 3 14

Resposta

2 14 , 1 14 , - 3 14

E

- 2 14 , - 1 14 , 3 14

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