Exercícios Resolvidos de Plano Tangente

Sabendo que o plano tangente ao gráfico de f ( x , y ) no ponto ( 1,1 ) é

x - 2 y + 3 z = 5

E

g u , v = f u + v , u - v

Quanto valem g u ( 1,0 ) e g v 1,0 , respectivamente?

  1. 1   e - 3
  2. - 1 3   e   1
  3. - 1   e - 3  
  4. 1 3   e - 1
  5. - 1   e   3

Passo 1

g é uma função composta. Então, para calcular suas derivadas parciais, precisamos usar a regra da cadeia:

∂ g ∂ u = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ u

E

∂ g ∂ v = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ v

Para descobrir as derivadas parciais de f , vamos usar a informação que a questão deu pra gente sobre plano tangente.

Repare que a questão quer as derivadas parciais de g quando u , v = 1,0 .

Sabemos que

x = u + v  

y = u - v

Então, quando u , v = ( 1,0 ) , temos que ( x , y ) = ( 1,1 )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Sabemos que z = f x , y

Então isolando ele:

f x , y = z = 5 - x + 2 y 3

Então

f x 1,1 = - 1 3

f y 1,1 = 2 3

Passo 3

Show, agora já temos as derivadas parciais de f , podemos voltar ao que interessa, que é calcular as derivadas parciais da função composta g .

∂ g ∂ u = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ u

E

∂ g ∂ v = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ v

Substituindo os resultados encontrados:

∂ g ∂ u 1,0 = - 1 3 . 1 + 2 3 . 1 = 1 3

E

∂ g ∂ v 1,0 = - 1 3 . 1 + 2 3 . - 1 = - 1

Resposta

L e t r a   d  

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