Exercícios Resolvidos de Plano Tangente

Considere a função

f x , y = 1 - x 2 - y 2 4

E as seguintes afirmações:

  1. O gráfico de f é a parte de cima de um cone elíptico.
  2. Nenhum plano tangente ao gráfico de f é paralelo ao plano z = 2
  3. O vetor 0 , 3 3 ,   1 é normal ao gráfico de f no ponto 0 ,   1 , 3 2

Marque a alternativa correta:

  1. Todas as afirmações são falsas
  2. Apenas as afirmações I e II são verdadeiras
  3. Apenas as afirmações I e II são falsas
  4. Todas as afirmações são verdadeiras
  5. Apenas as afirmação I e III são verdadeiras

Passo 1

Vamos analisar cada afirmação.

A primeira diz que o gráfico de f é a parte de cima de um cone elíptico.

Você lembra qual é a equação do cone elíptico?

É a equação normal de cone, assim

z - z 0 2 c 2 = x - x 0 2 a 2 + y - y 0 2 b 2

Reorganizando a expressão da nossa função, temos

z = 1 - x 2 - y 2 4

z 2 = 1 - x 2 - y 2 4

Que não tem nada a ver com a expressão do cone né?

Então essa afirmação é falsa a beça!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Próxima: Nenhum plano tangente ao gráfico de f é paralelo ao plano z = 2

Bom, para avaliar isso precisamos fazer tudo aquilo pra calcular o plano tangente de f .

Sacanagem, precisamos não.

É só a gente fazer uma analise dos vetores normais ao plano tangente ao gráfico de f e o vetor normal do plano z = 2 .

O vetor normal ao plano tangente ao gráfico de f é

F x , y , z = z - 1 - x 2 - y 2 4 ⇒ s u p e r f i c i e   q u e   é   g r á f i c o   d e   f

∇ F x , y , z = 2 x 2 1 - x 2 - y 2 4 , y 2 2 1 - x 2 - y 2 4 ,   1

∇ F x , y , z = x 1 - x 2 - y 2 4 , y 4 1 - x 2 - y 2 4 ,   1

O vetor normal ao plano z = 2 é o vetor ( 0 , 0,1 ) , que é um vetor na direção do eixo z .

Passo 3

Se algum plano tangente ao gráfico de f for paralelo ao plano z = 2 , então os vetores normais desses dois planos seriam múltiplos um do outro.

∇ F = λ ( 0,0 , 1 )

Beleza, mas se fizermos x = 0 ,   y = 0 ,   z = 1 no vetor ∇ F , teremos, de fato, um vetor igual ao vetor normal ao plano z = 2 .

E se eles são iguais, obviamente eles são múltiplos ( λ = 1 ) .

Ou seja, algum plano tangente ao gráfico de f é paralelo a z = 2 .

Então, a afirmação é falsa.

Passo 4

A última afirmação diz que o vetor 0 , 3 3 ,   1 é normal ao gráfico de f no ponto 0 ,   1 , 3 2 .

O vetor normal ao gráfico de f nós já calculamos e sabemos que é o vetor:

∇ F x , y , z = x 1 - x 2 - y 2 4 , y 4 1 - x 2 - y 2 4 ,   z

Substituindo no ponto 0 ,   1 , 3 2 :

∇ F 0 ,   1 , 3 2 = 0 1 - 0 2 - 1 2 4 , 1 4 1 - 0 2 - 1 2 4 ,   3 2

∇ F 0 ,   1 , 3 2 = 0 , 1 4 3 4 ,   3 2 ≠ 0 , 3 3 ,   1

Resposta

L e t r a   a

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