Exercícios Resolvidos de Plano Tangente

Teorema da função implícita

Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando. (aviso: resposta errada ou resposta certa sem justificativa receberá zero no item respectivo).

A equação do plano tangente à superfície descrita pela equação x 3 + 2 y 2 + 8 x z 2 - 3 z 3 y = 0 no ponto ( - 2,2 , 0 ) é dada por: 3 x - 4 y + 14 = 0 .

Passo 1

Bem, se essa for a equação do plano tangente à superfície no ponto dado, então essa equação do plano dever satisfazer o ponto, certo? Antes de tudo, vamos ver se isso é verdade:

3 - 2 - 4 2 + 14 = 0

- 6 - 8 + 14 = 0

0 = 0

Ok, esse ponto pertence ao plano dado, mas isso não quer dizer que a afirmação é verdadeira!

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Passo 2

Agora, vamos tentar encontrar a expressão do plano tangente nesse ponto e ver se condiz com o que o enunciado disse. Para isso, precisamos de duas coisas: um ponto pertencente ao plano (que já temos) e um vetor normal à superfície.

Para achar o vetor normal, fazemos o seguinte:

x 3 + 2 y 2 + 8 x z 2 - 3 z 3 y = 0

F x , y , z = x 3 + 2 y 2 + 8 x z 2 - 3 z 3

Agora, calculamos o gradiente de F :

∇ F x , y , z = 3 x 2 + 8 z 2 , 4 y - 3 z 3 , 16 x z - 9 z 2 y  

Vamos, então, encontrar o valor do gradiente no ponto de tangência, ( - 2,2 , 0 ) :

∇ F - 2,2 , 0 = 12,8 , 0  

Esse é, então o vetor normal de que precisamos.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a equação do plano:

12,8 , 0 . x + 2 , y - 2 , z - 0 = 0

3 x + 2 y + 2 = 0

Bom, essa equação é diferente do plano

3 x - 4 y + 14 = 0

Portanto, a afirmação é falsa.

Resposta

Falsa.

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