Exercícios Resolvidos de Plano Tangente

Considere a curva espacial parametrizada

α t = x t , y t , z t     ,     t ∈ - π , π

Onde

x t = cos 3 ⁡ t

y t = sen 3 ⁡ t

z t = 1 + sen ⁡ 2 t

Seja C = α - π , π a imagem ou traço de α .

  1. Encontre e explicite uma função f ( x , y ) definida em todo R 2 e uma curva de nível g x , y = a ⊂ R 2 tal que C é a curva de interseção entre o gráfico de f e o cilindro vertical S sobre a curva g x , y = a , ou seja
  2. C = g r a f ( f ) ∩ S

    Onde

    g r a f f = x , y , z ∈ R 3     z = f x , y   ,   x , y ∈ R 2   }

    S = x , y , z ∈ R 3     g x , y = a ,   ( x , y ) ∈ R 2 }  

    Sugestão: encontre uma relação entre x ( t ) e y ( t ) e outra relação entre x ( t ) , y ( t ) e z ( t ) baseadas em relações trigonométricas básicas.

  3. Explicite o normal N ao gráfico de f (a mesma f do item c ) no ponto P = 2 4 , 2 4 , 2 e escreva a equação paramétrica do plano Ω tangente ao gráfico de f em P .

Passo 1

c )

Nosso objetivo aqui é definir uma função f de duas variáveis, x e y , e uma curva de nível

g x , y = a

Sabendo que a nossa curva parametrizada

α t = cos 3 ⁡ t , sen 3 ⁡ t , 1 + sen ⁡ 2 t

É a curva de interseção entre o gráfico da função f ( x , y ) e da curva de nível g x , y = a que a gente vai definir.

Aí a questão sugeriu que a gente encontrasse primeiro uma relação entre x ( t ) e y ( t ) baseado nas relações trigonométricas e depois encontrasse uma outra relação entre x ( t ) , y ( t ) e z ( t ) também baseado nas relações trigonométricas.

Vamos tentar.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos primeiro tentar relacionar x ( t ) e y ( t ) então.

Sabemos que

x t = cos 3 ⁡ t

y t = sen 3 ⁡ t

Qual a relação trigonométrica que envolve seno e cosseno ao cubo que a gente conhece (ou se lembra)?

Isso mesmo, nenhuma hahah

Maaas, tem uma que envolve seno e cosseno ao quadrado que a gente usa bastante, que é a relação fundamental da trigonometria. Vamos tentar usar?

cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t = 1

Beleza, na nossa curva o seno e cosseno estão ao cubo, então vamos tentar isolá-los.

x t = cos 3 ⁡ t ⇒ cos ⁡ t = x ( t ) 3 = x t 1 3

y t = sen 3 ⁡ t ⇒ sen ⁡ t = y ( t ) 3 = y t 1 3

Então agora a gente vai pegar e onde tiver seno na relação fundamental vamos colocar y t 1 3 e onde tiver cosseno, vamos colocar x t 1 3 , ok? Com isso, ficamos com

x t 2 3 + y t 2 3 = 1

E OLHA AÍIIIIIII

Isso já é uma equação para a tal da curva de nível!

Assim,

g x , y = x 2 3 + y 2 3

a = 1

Passo 3

Agora vamos relacionar x t ,   y t e   z t .

Bom, já sabemos que

x t = cos 3 ⁡ t ⇒ cos ⁡ t = x ( t ) 3 = x t 1 3

y t = sen 3 ⁡ t ⇒ sen ⁡ t = y ( t ) 3 = y t 1 3

E, além disso, da nossa curva,

z t = 1 + sen ⁡ 2 t

z t = 1 + 2 sen ⁡ t cos ⁡ t

Assim, substituindo o seno e cosseno que isolamos ali em cima:

z = 1 + 2 x 1 3 y 1 3

E como

g r a f f = x , y , z ∈ R 3     z = f x , y   ,   x , y ∈ R 2   }

Temos que

z = f ( x , y ) = 1 + 2 x 1 3 y 1 3

Show de bola?!

Passo 4

d )

Precisamos, primeiramente, achar um vetor normal à superfície que é gráfico de f em P = 2 4 , 2 4 , 2 .

E depois, vamos ter que achar a equação paramétrica do plano tangente em P = 2 4 , 2 4 , 2 .

Para achar o vetor normal basta a gente jogar tudo pra um lado só na equação de f e chamar isso de F ( x , y , z ) :

F x , y , z = z - 2 x 1 3 y 1 3 - 1

O vetor normal ao gráfico de f será o vetor gradiente dessa função F :

N = ∇ F x , y , z = ( - 2 ∙ 1 3 x - 2 3 y 1 3 , - 2 ∙ 1 3 y - 2 3 x 1 3 , 1 )

No ponto P = 2 4 , 2 4 , 2 :

N = ∇ F 2 4 , 2 4 , 2 = - 2 3 2 4 - 2 3 2 4 1 3 , - 2 3 2 4 - 2 3 2 4 1 3 , 1

N = ∇ F 2 4 , 2 4 , 2 = - 2 3 2 2 3 1 3 2 2 3 2 3 , - 2 3 2 2 3 1 3 2 2 3 2 3 , 1

N = ∇ F 2 4 , 2 4 , 2 = - 2 3 2 2 2 2 2 , - 2 3 2 2 2 2 2 , 1

N = ∇ F 2 4 , 2 4 , 2 = - 2 3 1 2 2 , - 2 3 1 2 2 , 1

N = ∇ F 2 4 , 2 4 , 2 = - 2 2 3 , - 2 2 3 , 1

Passo 5

Agora, pra fechar, a equação paramétrica do plano tangente é dada por

Ω s , t = P 0 + v → ∙ s + w → ∙ t     ,   s , t ∈ R

Que é bem parecida com a equação paramétrica da reta, certo? Só que agora temos 2 parâmetros e 2 “vetores diretores”, que são vetores paralelos ao plano.

Um desses vetores paralelos ao plano é mais tranquilo de achar, pois é só a gente pensar no vetor que tá na mesma direção da curva C , ou seja, o vetor tangente à curva, que é o vetor

α ' π 4 = v →

Para encontra-lo, é só derivar a curva e depois substituir no ponto t = π 4 .

α t = cos 3 ⁡ t , sen 3 ⁡ t , 1 + sen ⁡ 2 t

α ' t = - 3 cos 2 ⁡ t sen ⁡ t , 3 sen 2 ⁡ t cos ⁡ t , 2 cos ⁡ 2 t

Substituindo em t = π 4 , temos

α ' π 4 = - 3 cos 2 ⁡ π 4 sen ⁡ π 4 , 3 sen 2 ⁡ π 4 cos ⁡ π 4 , 2 cos ⁡ 2 . π 4

α ' π 4 = - 3 2 2 2 2 2 , 3 2 2 2 2 2 , 2.0

α ' π 4 = - 3 2 4 , 3 2 4 , 0

Assim,

α ' π 4 = v → = - 3 2 4 , 3 2 4 , 0

Pois ele tá direção tangente à curva e estamos procurando o plano tangente à curva, certo?

Passo 6

Beleza, mas ainda falta o outro vetor paralelo ao plano.

E precisamos encontrar esse outro vetor a partir de informações que a gente já tem.

Vamos com calma. Queremos um vetor paralelo ao plano e temos um outro vetor paralelo ao plano, o vetor α ' π 4 , e um vetor normal ao plano, o vetor N

Esses dois vetores são perpendiculares entre si, mas se fizermos o produto vetorial entre eles, acharemos um terceiro vetor, perpendicular simultaneamente, a esses dois vetores.

E se você pegar sua mão direita e fizer a tal da regra da mão direita, vai ver que com 3 vetores perpendiculares, teríamos 2 vetores perpendiculares entre sim, porém no mesmo plano, e um vetor, perpendicular aos outros dois, e normal ao plano em que os dois primeiros vetores estão.

E agora veja você se essa não é exatamente a situação que queremos? Dois vetores no mesmo plano (tangente à C ) e um vetor normal a esse plano.

Certo? Então vamos fazer esse produto vetorial:

w → = N × α ' π 4

w → = i j k - 2 2 3 - 2 2 3 1 - 3 2 4 3 2 4 0   i j k - 2 2 3 - 2 2 3 1 - 3 2 4 3 2 4 0

w → = - 2 2 3 . 0   i + 1 . - 3 2 4   j + - 2 2 3   . 3 2 4   k - - 2 2 3 . - 3 2 4   k - - 2 2 3 . 0   j - 1 . 3 2 4 i    

w → = 0 - 3 2 4 ,   - 3 2 4 + 0 ,   - 1 - 1

w → = - 3 2 4 ,   - 3 2 4 ,   - 2

Ou qualquer vetor múltiplo desse!

Substituindo tudo na equação paramétrica do plano tangente:

Ω s , t = P 0 + v → ∙ s + w → ∙ t     ,   s , t ∈ R

Ω s , t = 2 4 , 2 4 , 2 + - 3 2 4 , 3 2 4 , 0 ∙ s + - 3 2 4 ,   - 3 2 4 ,   - 2 ∙ t     ,   s , t ∈ R

Resposta

c )

g x , y = x 2 3 + y 2 3

a = 1

z = f ( x , y ) = 1 + 2 x 1 3 y 1 3

d )

N = ∇ F 2 4 , 2 4 , 2 = - 2 2 3 , - 2 2 3 , 1

Ω s , t = 2 4 , 2 4 , 2 + - 3 2 4 , 3 2 4 , 0 ∙ s + - 3 2 4 ,   - 3 2 4 ,   - 2 ∙ t     ,   s , t ∈ R

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