Exercícios Resolvidos de Plano Tangente

Plano tangente e reta normal

Seja f x , y uma função diferenciável no ponto 0,1 . Se o plano tangente ao gráfico de f no ponto 0,1 é x + 2 y + 3 z = 1 , então ∇ f 0,1 é:

  1. - 1 / 3 , - 2 / 3
  2. 1 / 3,2 / 3
  3. - 1 , - 2
  4. 1,2
  5. 1,2 , 3
  6. Nenhuma das demais alternativas

Passo 1

Para o plano tangente primeiro encontrar o vetor n → . Começamos fazendo

z = f x , y

F x , y , z = f x , y - z

Vamos agora achar o gradiente de F

∇ F = f x , f y , - 1

Lembra que o vetor normal é o gradiente substituindo o valor??

n → = f x 0,1 , f y 0,1 , - 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A equação do plano é:

x , y , z ⋅ n → = P 0 ⋅ n →

Precisamos achar o valor de z do ponto P 0 , ele é o ponto z da equação do plano quando x = 0 e y = 1

x + 2 y + 3 z = 1

0 + 2 ⋅ 1 + 3 z = 1

3 z = - 1

z = - 1 3

Passo 3

Voltando a equação do plano

x , y , z ⋅ f x 0,1 , f y 0,1 , - 1 = 0,1 , - 1 3 ⋅ f x 0,1 , f y 0,1 , - 1

x f x 0,1 + y f y 0,1 - z = f y 0,1 + 1 3

3 x f x 0,1 + 3 y f y 0,1 - 3 z = 3 f y 0,1 + 1

- 3 x f x 0,1 - 3 y f y 0,1 + 3 z = - 3 f y 0,1 - 1

Porque fizemos isso?

A única referencia que temos é a equação do plano que ele deu, onde z está multiplicado por 3 .

Passo 4

Comparando as equações dos planos tangentes vamos ter

- 3 x f x 0,1 - 3 y f y 0,1 + 3 z = - 3 f y 0,1 - 1

x + 2 y + 3 z = 1

Encontramos três equações

- 3 f x 0,1 = 1

- 3 f y 0,1 = 2

- 3 f y 0,1 - 1 = 1

Da primeira equação

f x 0,1 = - 1 3

Da segunda equação

f y 0,1 = - 2 3

Da terceira equação

f y 0,1 = - 2 3

Passo 5

O gradiente de ∇ f 0,1 é

∇ f 0,1 = f x 0,1 , f y 0,1

∇ f 0,1 = - 1 3 , - 2 3

Resposta

Alternativa (a)

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