Exercícios Resolvidos de Plano Tangente

Plano Tangente e Reta Normal, Derivadas Parciais e o Vetor Gradiente

Encontre a equação do plano tangente ao paraboloide z = 2 x 2 + 3 y 2 e, simultaneamente, paralelo ao plano 4 x - 3 y - z = 10 .

Passo 1

Neste tipo de questão, que tem plano tangente à alguma superfície que é paralelo a algum outro plano, a estratégia é a seguinte: Encontre a equação geral para o plano tangente da superfície e depois diga que o seu vetor normal é múltiplo do vetor normal do outro plano!

Beleza, vamos então encontrar o plano tangente ao paraboloide? Para isso, precisamos do vetor normal do plano, que é o vetor gradiente da superfície! Temos então,

z = f x , y

f x , y = 2 x 2 + 3 y 2

E, jogando o z para o lado direito, temos:

F x , y , z = 2 x 2 + 3 y 2 - z

Fazendo agora o gradiente da superfície, temos:

∇ F x , y , z = F x , F y , F z

F x = 4 x

F y = 6 y

F z = - 1

E, assim, o gradiente da superfície para um ponto x 0 ,   y 0 , z 0 qualquer é:

∇ F x , y , z = 4 x 0 , 6 y 0 , - 1

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Passo 2

Show! Mas a gente consegue definir um plano apenas com o seu vetor normal? Não! Precisamos definir também o ponto de tangência, certo?! É agora que entra a outra parte da estratégia: Se esse plano tangente ao paraboloide é paralelo ao plano 4 x - 3 y - z = 10 , então o vetor normal de um é múltiplo do vetor normal do outro. Assim, o vetor gradiente (vetor normal do plano tangente) é múltiplo do vetor 4 , - 3 , - 1 (vetor normal do plano 4 x - 3 y - z = 10 ) :

4 x 0 , 6 y 0 , - 1 = λ 4 , - 3 , - 1

Beleza? Essa expressão só nos diz que um é múltiplo do outro :D

Desenvolvendo, temos o seguinte sistema:

4 x 0 = 4 λ 6 y 0 = - 3 λ - 1 = - λ

Viu só que maravilha?? Pelo fato de termos feito a macetagem de jogar o z para o lado direito, temos a terceira componente do gradiente sendo - 1 , e então o valor de λ já está aí! Se - 1 = - λ , então λ = 1 !

Tomando esse valor para o λ , temos, para x 0 :

4 x 0 = 4.1

x 0 = 1

E, para y 0 , temos:

6 y 0 = - 3.1

y 0 = - 1 2

Assim, o vetor gradiente é ∇ F x , y , z = 4 , - 3 , - 1

Passo 3

Show!! Já temos duas coordenadas do ponto de tangência! E para descobrir a terceira, como faremos? Só jogar o x 0 e y 0 que encontramos em f x , y , pois z = f x , y !

z = 2 x 2 + 3 y 2

z = 2 . 1 2 + 3 - 1 2 2 = 2 + 3 4 = 11 4

E assim, o ponto de tangência é 1 , - 1 2 , 11 4 !!

Passo 4

Perfeito, agora que temos o vetor diretor, que é o vetor gradiente, e temos o ponto de tangência, basta colocar na fórmula do plano!

x , y , z ⋅ n → = P 0 ⋅ n →

x , y , z . 4 , - 3 , - 1 = 1 , - 1 2 , 11 4 . 4 , - 3 , - 1

4 x - 3 y - z = 4 + 3 2 - 11 4

4 x - 3 y - z = 11 4

E aí está, chegamos na equação do plano :D

Resposta

4 x - 3 y - z = 11 4

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