Exercícios Resolvidos de Plano Tangente

UFRJ, Cálculo 2, PF 2015.2, questão 12.

Considere o elipsoide

x 2 + y 2 + 2 z 2 = 1

Por quais dos seguintes pares de pontos o elipsoide possui planos tangentes paralelos?

  1. 0,0 , 1 e ( 0,0 , - 1 )
  2. 0,1 , 0 e ( 1,0 , 0 )
  3. 0,1 , 0 e ( 0 , - 1,0 )
  4. 0,1 , 0 e ( - 1,0 , 0 )

Passo 1

Então, para que os planos tangentes sejam paralelos, os vetores normais a esses planos nos pontos considerados têm que ser paralelos, certo?

E o vetor normal ao plano tangente é o vetor gradiente.

Vamos começar achando do vetor gradiente então.

x 2 + y 2 + 2 z 2 - 1 = 0

F x , y , z = x 2 + y 2 + 2 z 2 - 1

∇ F x , y , z = 2 x ,   2 y ,   4 z

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

E o vetor gradiente é um vetor normal à superfície! Show! Então em um ponto P 0 = ( x 0 , y 0 , z 0 ) do elipsoide, o vetor normal à superfície é ( 2 x 0 , 2 y 0 , 4 z 0 ) .

Beleza, agora precisamos de 2 pontos em que esses vetores normais sejam paralelos.

Digamos P 1 = ( x 1 , y 1 , z 1 ) e P 2 = ( x 2 , y 2 , z 2 ) . Os gradientes de f em P 1 e P 2 são paralelos, logo:

2 x 1 , 2 y 1 , 4 z 1 = λ 2 x 2 , 2 y 2 , 4 z 2 ,     λ ∈ R

⇒ x 1 , y 1 , z 1 = λ x 2 , y 2 , z 2

Ou seja, as coordenadas dos pontos tem que ser múltiplas.

Passo 3

Olhando as opções disponíveis, vemos que duas delas respeitam essa condição, a letra (a) e a letra (c):

(a) P 1 = 0,0 , 1   e   P 2 = 0,0 , - 1

(c) P 1 = 0,1 , 0   e   P 2 = ( 0 , - 1,0 )

Então pra definir qual é a alternativa certa temos que testar se os pontos estão de fato no elipsoide, de equação

x 2 + y 2 + 2 z 2 = 1

Podemos ver que os pontos da letra (c) respeitam a equação, o que não acontece pros pontos da letra (a)!

Resposta

Letra c

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas

Muita matéria pra estudar?

Dexter Estudando

Cadastre-se para acessar os Resumões Gratuitos

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas