Seja f : R → R uma função derivável. Mostre que todos os planos tangentes à superfície z = x f x y passam pela origem.

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema essa superfície aqui

z = x f x y

E afirma que todos os planos tangentes a ela passam pela origem! Mas como mostrar isso?

Vamos por partes! Precisamos encontrar a equação do plano tangente à essa superfície e aí verificar que a origem pertence a ele!

Beleza?

E depois? Depois com o ponto, vamos poder achar a equação do plano!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos começar calculando o gradiente de G

z = x f x y

G = x f x y - z

∇ G = f x y + f ' x y . 1 y   , x f ' x y . - 1 y 2 , - 1

Beleza?

E a equação genérica do plano é

f x 0 y 0 + f ' x 0 y 0 . 1 y 0 x - x 0 + - x 0 y 0 2 f ' x 0 y 0 y - y 0 - z - z 0 = 0

Passo 3

Agora o problema diz que qualquer plano tangente passa pela origem. Então precisamos mostrar que independente de ( x 0 , y 0 , z 0 ) esse plano passa pela origem x , y , z = ( 0,0 , 0 ) . Isto é, substituindo x , y , z na equação do plano vamos encontrar

0 = 0

Mas será? Bora descobrir!

f x 0 y 0 + f ' x 0 y 0 . 1 y 0 0 - x 0 + - x 0 y 0 2 f ' x 0 y 0 0 - y 0 - 0 - z 0 = 0

Organizando temos

- x 0 f x 0 y 0 - x 0 y 0 f ' x 0 y 0 + x 0 y 0 2 f ' x 0 y 0 . y 0 + z 0 = 0

Organizando mais um pouco

- x 0 f x 0 y 0 + z 0 - x 0 y 0 f ' x 0 y 0 + x 0 y 0 f ' x 0 y 0 = 0

Podemos simplificar os dois últimos termos e ficamos com

- x 0 f x 0 y 0 + z 0 = 0

Passo 4

Agora vamos resgatar a equação da superfície

z = x f x y

No ponto ( x 0 , y 0 , z 0 ) temos

z 0 = x 0 f x 0 y 0

E substituindo no fim do passo anterior

- x 0 f x 0 y 0 + z 0 ⏝ = x 0 f x 0 y 0 = 0

Achamos

0 = 0

Uma igualdade!

Portanto sim, qualquer plano tangente à z , ele passará pela origem!

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

d e m o n s t r a ç ã o

Exercícios de Livros Relacionados

Desenhe a superfície e o plano tangente no ponto dado. (Escolha o domínio e o ponto de vista de modo a ver tanto a superfície quanto o plano tangente.) Em seguida, dê zoom até que a superfície e o pla
Desenhe o gráfico de f e de seu plano tangente no ponto dado. (Utilize um sistema de computação algébrica tanto para calcular as derivadas parciais quanto para traçar os gráficos da função e de seu pl
Em qual ponto do paraboloide y = x 2 + z 2 o plano tangente é paralelo ao plano x + 2 y + 3 z = 1 ?
Existem pontos no hiperboloide x 2 - y 2 - z 2 = 1 nos quais o plano tangente é paralelo ao plano z = x + y ?