Exercícios Resolvidos de Plano Tangente

Plano Tangente e Reta Normal, Regra da Cadeia

Seja 2 x - 3 y + z = 1 a equação do plano tangente ao gráfico de f ( x , y ) no ponto ( 3 ,   2 ) . Se x = u 2 + 2 , y = 2 u v e F u , v = f ( x u , v ,   y u , v ) , o valor de ∂ F ∂ u 1,1 é:

(a) 2

(b) -2

(c) 0

(d) 4

(e) -6

Passo 1

Viu funções compostas na questão, não tenha dúvida que você vai ter que usar a regra da cadeia! Aqui temos F u , v = f ( x u , v ,   y u , v ) , e queremos ∂ F ∂ u 1,1 . Mas repare que F 1,1 = f x 1,1 , y 1,1 = f ( 3,2 ) . Ou seja:

  ∂ F ∂ u 1,1 = ∂ f ∂ u 3,2

E no ponto ( 3,2 ) temos, pela regra da cadeia:

∂ f ∂ u =   ∂ f ∂ x ∙ ∂ x ∂ u +   ∂ f ∂ y ∙   ∂ y ∂ u

Show! Agora vamos achar todas essas derivadas parciais!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A primeira informação que ele deu é a equação do plano tangente ao gráfico da f no ponto ( 3 ,   2 ) . Que tal a gente começar por aqui? Pela equação do plano tangente, e chamando o ponto 3 , 2 , f 3,2 de P 0 vamos ter:

x , y , z ⋅ ∇ f P 0 = P 0 ⋅ ∇ f ( P 0 )

Ué mas a f depende de só 2 variáveis, então como vamos ter um f z ( P 0 ) ? Bom, vamos simplesmente substituir o f ( x , y ) por z na equação da superfície, só isso!

A gente tinha:

f x , y = a l g u m a   c o i s a

e agora a gente tem:

z = a l g u m a   c o i s a

Mas pra achar o plano tangente a uma superfície primeiro a gente pega a equação da superfície e joga tudo pra um lado, deixando 0 do outro, certo?

Então vamos ter:

a l g u m a   c o i s a - z = 0

E esse lado esquerdo da equação vai ser a “nova” f , função de 3 variáveis!

Passo 3

Temos “ - z ” na expressão da função, então f z x , y , z = - 1 .

E a equação do plano é 2 x - 3 y + z = 1 , logo:

x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 f x P 0 ,   f y P 0 , f z P 0 = 0

x , y , z f x P 0 ,   f y P 0 , f z P 0 = x 0 , y 0 , z 0 f x P 0 ,   f y P 0 , f z P 0

x , y , z f x P 0 ,   f y P 0 , f z P 0 = P 0 f x P 0 ,   f y P 0 , f z P 0

x , y , z ⋅ f x P 0 ,   f y P 0 , - 1 = P 0 ⋅ f x P 0 ,   f y P 0 , - 1 ⇔     2 x - 3 y + z = 1

As duas expressões são equivalentes!

x . f x P 0 + y . f y P 0 - z = 3 . f x P 0 + 2 . f y P 0 - f ( 3,2 )

⇔     2 x - 3 y + z = 1

Repare que na 1ª equação temos “ - z ”, enquanto na 2ª temos “ + z ”. Então vamos multiplicar a 1ª por -1 pras duas ficarem iguais, beleza? Assim:

- f x P 0 . x - f y P 0 . y + z = - 3 . f x P 0 - 2 . f y P 0 + f ( 3,2 )

⇔     2 x - 3 y + z = 1

Show, agora as duas equações estão iguais, então os termos multiplicando x , y e z tem que ser os mesmos! Logo:

- f x P 0 = 2   ⇒   f x P 0 = - 2

- f y P 0 = - 3   ⇒   f y P 0 = 3

E, pros lados direitos das equações baterem, vamos ter:

- 3 . f x P 0 - 2 . f y P 0 + f 3,2 = 1

- 3 . - 2 - 2.3 + f 3,2 = 1

⇒ f 3,2 = 1

Passo 4

Beleza, mas ainda precisamos de ∂ x ∂ u e ∂ y ∂ u . Mas relaxa que esses vão ser mais fáceis de achar!

Como x u , v = u 2 + 2 e y u , v = 2 u v , temos:

∂ x ∂ u u , v = 2 u   ⇒   ∂ x ∂ u 1,1 = 2

∂ y ∂ u u , v = 2 v   ⇒   ∂ y ∂ u 1,1 = 2

Passo 5

Excelente! Vamos enfim poder aplicar a regra da cadeia! Lembrando que vimos no começo:

∂ F ∂ u 1,1 = ∂ f ∂ u 3,2

E que, no ponto ( 3,2 ) :

∂ f ∂ u =   ∂ f ∂ x ∙ ∂ x ∂ u +   ∂ f ∂ y ∙   ∂ y ∂ u

Então vamos substituir com tudo que achamos:

∂ f ∂ u ( 3,2 ) = - 2.2 + 3.2 = - 4 + 6 = 2

Então ∂ f ∂ u 3,2 = ∂ F ∂ u 1,1 = 2 .

Resposta

Alternativa (a)

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas

Muita matéria pra estudar?

Dexter Estudando

Cadastre-se para acessar os Resumões Gratuitos

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas