Exercícios Resolvidos de Plano Tangente

Plano Tangente e Reta Normal

Seja f ( x , y ) uma função diferenciável e C a curva de equação f x , y = 2 . Assuma que o ponto ( 1,2 ) pertence a C e f x 1,2 = 1 e f y 1,2 = - 2 . Se x + a y + b = 0 é a equação da reta tangente a C em ( 1,2 ) , então a + b vale:

(a) 3

(b) 1

(c) -1

(d) 0

(e) 2

Passo 1

C é a curva de equação f x , y = 2 . Então a reta tangente a C em ( 1,2 ) faz parte do plano tangente ao gráfico de f no ponto ( 1,2 , 2 ) . Vamos achar a equação desse plano!

Vamos fazer

f x , y = z

A gente tinha:

f x , y = a l g u m a   c o i s a

e agora a gente tem:

z = a l g u m a   c o i s a

Mas pra achar o plano tangente a uma superfície primeiro a gente pega a equação da superfície e joga tudo pra um lado, deixando 0 do outro, certo?

Então vamos ter:

a l g u m a   c o i s a - z = 0

E esse lado esquerdo da equação vai ser a “nova” f , função de 3 variáveis!

Temos “ - z ” na expressão da função, então f z x , y , z = - 1 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Lembrando que a fórmula da equação do plano tangente ao gráfico de f em ( 1,2 , 2 ) é:

x , y , z ⋅ ∇ f x , y , z = 1,2 , 2 ⋅ ∇ f ( x , y , z )

Então vamos ter, usando as derivadas parciais dadas pelo enunciado:

x , y , z ⋅ 1 , - 2 ,   - 1 = 1,2 , 2 ⋅ ( 1 , - 2 ,   - 1 )

x - 2 y - z = 1 - 4 - 2

⇒ x - 2 y - z = - 5

Essa é a equação do plano tangente, mas nós queremos a equação da reta tangente quando z = 2 .

Ou seja, vamos ter:

x - 2 y - 2 = - 5

⇒ x - 2 y + 3 = 0

E justamente, nós queríamos achar a e b na expressão da reta tangente na forma:

x + a y + b = 0

Logo, a = - 2 e b = 3

⇒ a + b = 1

Resposta

Alternativa (b)

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