Considere uma função f : R 2 → R de classe C 1 . Suponha que:

  1. A imagem da curva plana γ t = c o t g t , t   , para t ] 0 , π 2 [ , esteja contida numa curva de nível de f,
  2. A imagem da curva no espaço σ u = u 3 ,   u 2 + 1 , u 3 2 - u 3 2 + 1 , com u > 0 , esteja contida no gráfico de f.

c. Determine uma equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto ( 1,2 , f 1,2 ) .

Passo 1

Olá, e agora a nossa última letra. Vamos então organizar em tópicos o que a questão nos deu para facilitar nossas vidas:

  • Uma função do tipo z = f ( x , y )
  • Uma curva de nível da função γ t = c o t g t , t  
  • Uma superfície de nível σ u = u 3 ,   u 2 + 1 , u 3 2 - u 3 2 + 1

e é com essas informações que iremos encontrar a equação do plano tangente ao gráfico no ponto ( 1,2 , f 1,2 ) .

Passo 2

Para encontrar a equação do plano tangente ao gráfico f, fazemos:

z = f x , y

F x , y , z = f x , y - z

Assim o nosso gradiente fica

∇ F = f x , f y , - 1

No ponto dado

∇ F = f x 1,2 , f y 1,2   ,   - 1

Passo 3

Como a curva γ t é uma curva de nível de f, isso significa que os componentes x ( t ) e y t da curva tem que satisfazer a nossa função. Então

γ t = c o t g t , t  

E

z = f x , y

Então

z t = f x t , y t = f c o t g t , t   = f γ t

d z d t = ∇ f ∙ γ t

γ ' t = - t   , s e c s e c   t   t a n t a n   t  

No ponto de tangência P 0 = 1,2 ,   f 1,2 temos que, como estamos sobre a curva de nível:

c o t g t , t   = 2 , - 1

t = 0.46364

Além disso, no ponto de tangência,

z = f 1,2 = c t e

Assim,

d z d t = ∇ f ∙ - t   , s e c s e c   t   t a n t a n   t  

0 = d z d t = f x 1,2 , f y 1,2 - 0.46364   , s e c   0.4664   t a n   0.46364  

f x 1,2 , f y 1,2 = - 5.00015 ,   0.55977

- f x 1,2 5.00015 + f y 1,2 0.55977 = 0

Passo 4

Sabemos também que a curva

σ u = u 3 ,   u 2 + 1 , u 3 2 - u 3 2 + 1

É a superfície de nível de f. Então podemos usar o mesmo raciocínio, só que com uma dimensão a mais. Assim, podemos dizer que se σ u é superfície de nível da função, então

z u = f x u ,   y u = f σ u

Ou seja

f u 3 ,   u 2 + 1 = u 3 2 - u 3 2 + 1

E assim, também podemos usar a regra da cadeia para derivar aqui. Ficamos com

d z d u = ∇ f ∙ ( σ ( u ) ) '

As derivadas de σ em relação a u nós conseguir calcular e a derivada de z em relação a u também. Nossa incógnita fica sendo o gradiente de f, como queríamos! Derivando σ : :

σ u = u 3 ,   u 2 + 1

σ ' ( u ) = ( 1 3 u ³ 2 ,   2 u )

Derivando z:

z u = u 3 2 - u 3 2 + 1

z ' = 3 u ² 2 - 1 6 u ² 3

então, vamos ter

d z d u = ∇ f ∙ ( σ ( u ) ) '

∇ f ∙ ( 1 3 u ³ 2 ,   2 u ) = 3 u ² 2 - 1 6 u ² 3

No ponto de tangência P 0 ( 2,1 ,   f ( 1,2 ) ) temos que, como estamos sobre a superfície de nível:

( u 3 ,   u 2 + 1 , u 3 2 - u 3 2 + 1 ) = ( 1,2 , f ( 1,2 ) )

u 3 = 1

u 2 + 1 = 2

Daí tiramos que u = 1

Então nossa derivada no ponto de tangência fica:

∇ f ( 1,2 ) ∙ ( 1 3 1 2 ,   2 ) = 3 2 - 1 6 1 3

∇ f ( 1,2 ) ∙ ( 1 3 ,   2 ) = 3 2 - 1 6

∇ f ( 1,2 ) ∙ ( 1 3 ,   2 ) 9 - 1 6 = 8 6 = 4 3

f x ( 1,2 ) 1 3 + 2 f y ( 1,2 ) = ( 4 3 )

Agora temos duas equações que relacionam f x e f y . Com isso conseguimos resolver o sistema e achar o nosso vetor gradiente para depois finalmente encontrarmos o plano tangente.

- f x 1,2 5.00015 + f y 1,2 0.55977 = 0

f x ( 1,2 ) 1 3 + 2 f y ( 1,2 ) = ( 4 3 )

Resolvendo, temos que

f x = 0.073258

f y = 0.654457

Passo 5

Agora a equação do plano tangente ao ponto ( 1,2 , f 1,2 ) é

( x - x 0 ,   y - y 0 , z - z 0 ) ∙ ∇ F ( P 0 ) = 0

Ainda falta calcular o z 0 .

Mas, como sabemos que

z u = u 3 2 - u 3 2 + 1

e que u = 1

z u = 1 2 - 1 2 + 1 = 1

Agora finalmente voltando ao plano tangente:

( x - 1 ,   y - 2 , z - 1 ) ∙ ( 0.073258,0.654457,1 ) = 0

( x - 1 ) ( 0.073258 ) + (   y - 2 ) ( 0.654457 ) + ( z - 1 ) = 0

Resposta

( x - 1 ) ( 0.073258 ) + (   y - 2 ) ( 0.654457 ) + ( z - 1 ) = 0

Exercícios de Livros Relacionados

Desenhe a superfície e o plano tangente no ponto dado. (Escolha o domínio e o ponto de vista de modo a ver tanto a superfície quanto o plano tangente.) Em seguida, dê zoom até que a superfície e o pla
Desenhe o gráfico de f e de seu plano tangente no ponto dado. (Utilize um sistema de computação algébrica tanto para calcular as derivadas parciais quanto para traçar os gráficos da função e de seu pl
Em qual ponto do paraboloide y = x 2 + z 2 o plano tangente é paralelo ao plano x + 2 y + 3 z = 1 ?
Existem pontos no hiperboloide x 2 - y 2 - z 2 = 1 nos quais o plano tangente é paralelo ao plano z = x + y ?