Seja f :   R 2 → R uma função diferenciável satisfazendo

f t 2 ,   2 t 3 = 1 + e t 2 - 1 ,             p a r a   t o d o   t ∈ R

Sabendo que ∂ f ∂ y 1 ,   2 = 1 , uma equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto 1 ,   2 ,   f 1 ,   2 é:

a) 2 x - y + z - 2 = 0 .

b) 2 x + y - z - 2 = 0 .

c) x - y + z - 1 = 0 .

d) x + y - z - 1 = 0 .

e) y - z = 0 .

Passo 1

Fala galera, preparados para resolver mais uma questão de prova da POLI? Vamos lá!!!!

O problema fornece uma função diferenciável de duas variáveis com a propriedade

f t 2 ,   2 t 3 = 1 + e t 2 - 1

Essa relação é válida para todo t real. Além disso, o problema fornece que

∂ f ∂ y 1 ,   2 = 1

Queremos saber qual a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto 1 ,   2 ,   f 1 ,   2 . O primeiro passo então é determinar f 1 ,   2 .

Note que fazendo t = 1 na relação fornecida, obtemos

f 1 ,   2 = 1 + e 1 2 - 1 = 1 + e 0 = 1 + 1 = 2

Assim, já achamos que

f 1 ,   2 = 2

Passo 2

A equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto ( a ,   b ) é

z = f a ,   b + ∂ f ∂ x a ,   b   x - a + ∂ f ∂ y a ,   b   ( y - b )

Assim, temos que descobrir

∂ f ∂ x 1 ,   2 =   ?

Para fazer isso, vamos aplicar a regra da cadeia na relação

f t 2 ,   2 t 3 = 1 + e t 2 - 1

Derivando em ambos os lados com relação a t :

d d t f t 2 ,   2 t 3 = 0 + e t 2 - 1 ⋅ t 2 - 1 ' = 2 t   e t 2 - 1

Do lado esquerdo, vamos chamar x = t 2 e y = 2 t 3 :

d d t f t 2 ,   2 t 3 = ∂ f ∂ x t 2 ,   2 t 3 ⋅ d x d t + ∂ f ∂ y t 2 ,   2 t 3 ⋅ d y d t

Sabemos que

d x d t = 2 t                 e             d y d t = 6 t 2

Portanto,

d d t f t 2 ,   2 t 3 = 2 t   ∂ f ∂ x t 2 ,   2 t 3 + 6 t 2   ∂ f ∂ y t 2 ,   2 t 3

Assim, temos a relação

2 t   ∂ f ∂ x t 2 ,   2 t 3 + 6 t 2   ∂ f ∂ y t 2 ,   2 t 3 = 2 t   e t 2 - 1

Fazendo t = 1 nela:

2 ∂ f ∂ x 1 ,   2 + 6 ∂ f ∂ y 1 ,   2 = 2

Como ∂ f ∂ y 1 ,   2 = 1 :

2 ⋅ ∂ f ∂ x 1 ,   2 + 6 ⋅ 1 = 2 ⇒ 2 ∂ f ∂ x 1 ,   2 = - 4 ⇒ ∂ f ∂ x 1 ,   2 = - 2

Passo 3

Agora que já temos as derivadas parciais, podemos substituir na equação do plano:

z = f 1 ,   2 + ∂ f ∂ x 1 ,   2   x - 1 + ∂ f ∂ y 1 ,   2   ( y - 2 )

Assim,

z = 2 - 2 x - 1 + 1 ⋅ ( y - 2 )

Logo,

z = 2 - 2 x + 2 + y - 2

Desta forma, a equação do plano é

2 x - y + z - 2 = 0

A resposta está na alternativa A 😊

Resposta

Alternativa A.

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