Considere o paraboloide z = x 2 - y 2 . Determine a equação para:

a) O plano tangente ao paraboloide paralelo ao plano π : 2 x + 3 y + z = 6

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado pediu pra gente determinar a equação do plano tangente ao paraboloide z = x 2 - y 2 , sabendo que esse plano é paralelo ao plano 2 x + 3 y + z = 6 .

Então, o que nós precisamos fazer é determinar a equação geral do plano, que depende de um vetor normal a superfície n → = ( a ,   b ,   c ) e um ponto tangente conhecido, P 0 ( x 0 ,   y 0 ,   z 0 ) . A equação tem a forma:

a x + b y + c z = a x 0 + b y 0 + c z 0

Mas nós não conhecemos o vetor normal n → = ( a ,   b ,   c ) . Então, nós vamos determinar as coordenadas desse vetor calculando o gradiente da função no ponto P 0 :

∇ f ( x ,   y ,   z ) = d f d x , d f d y , d f d z

Assim, n → = ∇ f ( P 0 ) .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando o gradiente para determinar nosso vetor normal. Temos:

∇ f x ,   y ,   z = d d x x 2 - y 2 - z , d d y x 2 - y 2 - z , d d z x 2 - y 2 - z

Calculando essas derivadas:

∇ f x ,   y ,   z = ( 2 x ,   - 2 y ,   - 1 )

Assim, as coordenadas do vetor gradiente para um ponto P 0 qualquer é:

n → = ∇ f P 0 = ( 2 x 0 ,   - 2 y 0 ,   - 1 )

E encontramos nosso vetor normal, agora precisamos encontrar nosso ponto de tangência.

Passo 3

Para encontrar nosso ponto, nós precisamos reparar que se esse plano tangente ao paraboloide é paralelo ao plano 2 x + 3 y + z = 6 , então o vetor normal de um é múltiplo do vetor normal do outro. Assim, o vetor gradiente (vetor normal do plano tangente) é múltiplo do vetor ( 2 ,   3 ,   1 ) (vetor normal do plano 2 x + 3 y + z = 6 , que também é obtido pelo gradiente de g ).

Como são proporcionais, temos:

2 x 0 ,   - 2 y 0 ,   - 1 = λ ( 2 ,   3 ,   1 )

Beleza, essa expressão só nos diz que um é múltiplo do outro. Desenvolvendo, temos o seguinte sistema:

2 x 0 = 2 λ - 2 y 0 = 3 λ - 1 = 1 λ

Da terceira equação, temos λ = - 1 . Substituindo na primeira equação:

x 0 = 2 λ 2 = λ = - 1

E substituindo na segunda equação:

y 0 = 3 λ - 2 = - 3 2 ( - 1 ) = 3 2

Assim, o vetor gradiente é ∇ f x ,   y ,   z = 2 ∙ - 1 ,   - 2 ∙ 3 2 ,   - 1 = - 2 , - 3 ,   - 1

Passo 4

Já temos duas coordenadas do nosso ponto de tangência, x 0 e y 0 , só falta a gente descobrir a terceira. Para isso, vamos substituir os valores que encontramos na equação do paraboloide, pois z = f ( x ,   y ) :

z = x 2 - y 2

z = - 1 2 - 3 2 2 = 1 - 9 4 = - 5 4

E assim, o ponto de tangência é - 1 , 3 2 ,   - 5 4 .

Passo 5

Beleza, agora que temos o vetor diretor, que é o vetor gradiente, e temos o ponto de tangência, basta colocar na fórmula do plano:

a x + b y + c z = a x 0 + b y 0 + c z 0

Usando n → = a ,   b ,   c = - 2 , - 3 ,   - 1 e x 0 ,   y 0 ,   z 0 = - 1 , 3 2 ,   - 5 4 :

- 2 x - 3 y - z = ( - 2 ) ( - 1 ) + - 3 3 2 + ( - 1 ) - 5 4

- 2 x - 3 y - z = 2 - 9 2 + 5 4

Somando as componentes do lado direito:

- 2 x - 3 y - z = - 5 4

Chegamos na equação no plano.

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

- 2 x - 3 y - z = - 5 4

Exercícios de Livros Relacionados

Desenhe a superfície e o plano tangente no ponto dado. (Escolha o domínio e o ponto de vista de modo a ver tanto a superfície quanto o plano tangente.) Em seguida, dê zoom até que a superfície e o pla
Desenhe o gráfico de f e de seu plano tangente no ponto dado. (Utilize um sistema de computação algébrica tanto para calcular as derivadas parciais quanto para traçar os gráficos da função e de seu pl
Em qual ponto do paraboloide y = x 2 + z 2 o plano tangente é paralelo ao plano x + 2 y + 3 z = 1 ?
Existem pontos no hiperboloide x 2 - y 2 - z 2 = 1 nos quais o plano tangente é paralelo ao plano z = x + y ?