Exercícios Resolvidos de Plano Tangente

Plano Tangente e Reta Normal

Seja S a superfície dada pela equação z = x 2 - y ² .

(a) Determine a equação do plano tangente T , num ponto genérico ( a , b , c ) de S .

(b) Determine os pontos de S , onde o plano tangente é paralelo ao plano

4 x + 2 y + z = 11

(c) Determine os valores numéricos de c e descreva a curva formada pelos pontos ( a , b , c ) de S , de tal modo que o plano tangente T , encontrado em (a), contenha a origem.

Passo 1

(a)

Vamos primeiro lembrar a equação de um plano tangente ao gráfico de uma função de várias variáveis f em um ponto P 0 :

x , y , z ∙ ∇ f x , y , z = P 0 ∙ ∇ f x , y , z

Nesse exercício, o ponto P 0 vai ser um ponto genérico ( a , b , c ) . Mas ainda não temos nenhum função f , então vamos defini-la!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Quando temos uma questão de plano tangente a uma superfície, sem nenhuma função definida, vamos sempre pegar a equação da superfície e jogar tudo pro mesmo lado, deixando 0 do outro. Então vamos lá!

z = x 2 - y ²

⇒ x 2 - y 2 - z = 0

Agora chamamos o lado esquerdo dessa equação de f ( x , y , z ) :

f x , y , z = x 2 - y 2 - z

Show! Então a nossa superfície é a curva de nível f x , y , z = 0 .

Passo 3

Vamos achar o gradiente da f :

∂ f ∂ x x , y , z = 2 x

∂ f ∂ y x , y , z = - 2 y

∂ f ∂ z x , y , z = - 1

Então vamos ter:

∇ f x , y , z = ( 2 x , - 2 y , - 1 )

Ou seja, num ponto genérico a , b , c , vamos ter:

∇ f a , b , c = ( 2 a , - 2 b , - 1 )

Passo 4

Excelente! Agora é só aplicar a fórmula:

x , y , z ∙ ∇ f x , y , z = P 0 ∙ ∇ f x , y , z

x , y , z ∙ ( 2 a , - 2 b , - 1 ) = a , b , c ∙ ( 2 a , - 2 b , - 1 )

2 a x - 2 b y - z = 2 a 2 - 2 b 2 - c

Mas ( a , b , c ) é um ponto da superfície z = x 2 - y ² , correto? Logo:

c = a 2 - b 2

Substituindo, vamos ter:

2 a x - 2 b y - z = 2 a 2 - 2 b 2 - a 2 + b ²

⇒   2 a x - 2 b y - z = a 2 - b 2

Uhul! Achamos a equação do plano!

Passo 5

(b)

Nessa questão é importante ter em mente o seguinte: se temos um plano

A x + B y + C z = D

então o vetor ( A , B , C ) é um vetor normal a esse plano!

Então o vetor normal do plano 4 x + 2 y + z = 11 é 4,2 , 1 , ok?

E nessa questão queremos os pontos de S , onde o plano tangente é paralelo ao plano 4 x + 2 y + z = 11 , ou seja, onde o plano tangente tem vetor normal paralelo ao vetor normal desse plano aí de cima, que é ( 4,2 , 1 ) . Deu pra entender?

Basicamente: se o nosso plano é paralelo ao outro plano, então nosso vetor normal é paralelo ao outro vetor normal, só isso! :)

Passo 6

Na letra (a) achamos a equação do plano tangente à S num ponto qualquer ( a , b , c ) :

2 a x - 2 b y - z = a 2 - b 2

Logo, o vetor normal desse plano é ( 2 a , - 2 b , - 1 ) . E queremos que ele seja paralelo, um múltiplo do vetor ( 4,2 , 1 ) , que é um vetor normal do plano 4 x + 2 y + z = 11 .

Os vetores são paralelos, então:

2 a , - 2 b , - 1 = λ ( 4,2 , 1 )

Se pararmos pra olhar só a 3ª coordenada, vamos ver que:

- 1 = λ . 1 = λ

Show! Facilitou nosso trabalho! Então vamos ter:

2 a , - 2 b , - 1 = - ( 4,2 , 1 )

⇒ 2 a = - 4 ⇒ a = - 2 - 2 b = - 2 ⇒ b = 1

E como c = a 2 - b 2 :

c = 4 - 1 = 3

Beleza! Então o plano tangente à S é paralelo ao plano 4 x + 2 y + z = 11 em um só ponto, o ponto ( - 2,1 , 3 ) .

Passo 7

(c)

Nessa questão, queremos que o plano T tangente à S em ( a , b , c ) , cuja equação é 2 a x - 2 b y - z = a 2 - b 2 , contenha a origem ( 0,0 , 0 ) .

Vamos substituir x , y e z por 0 na equação de T e ver no que dá:

2 a . 0 - 2 b . 0 - 0 = a 2 - b ²

⇒ a ² = b ²

E a questão pede os valores numéricos de c , lembrando que c = a 2 - b 2 . Ou seja:

c = 0

Também precisamos descrever a curva formada pelos pontos ( a , b , c ) de S . Como S é definida por z = x 2 - y ² , temos:

0 = x 2 - y ²

⇒ x 2 = y ²

⇒ x = ± y

Descrever a curva? Como assim? Bem, basta dizer que quando o plano tangente T contém a origem, os pontos de S percorrem as retas x = y e x = - y no plano z = 0 .

Resposta

(a)

2 a x - 2 b y - z = a 2 - b 2

(b) No ponto ( - 2,1 , 3 ) .

(c)

c = 0     e     y = ± x

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