Exercícios Resolvidos de Plano Tangente

Superfícies, Curvas Parametrizadas, Plano Tangente e Reta Normal

Considere a superfície quádrica S dada pela equação

x 2 + 4 y 2 + 9 z 2 = 36

(a) Identifique e esboce o gráfico de S mostrando as curvas de interseção com os planos coordenados, x = 0 , y = 0 e z = 0 .

(b) Determine as equações paramétricas da curva γ , interseção de S com o plano x = 0 .

(c) Determine as equações paramétricas dos planos tangentes à S que são paralelos ao plano x - 4 y + 9 z = 1 .

Passo 1

(a)

Queremos identificar a superfície, então vamos ver se reconhecemos a sua equação. Tá parecendo com as quádricas que a gente conhece da forma

± x 2 a 2 ± y 2 b 2 ± z 2 c 2 = 1

Então vamos ajeitar a equação da S pra ficar algo assim, beleza? Temos

x 2 + 4 y 2 + 9 z 2 = 36

Mas queremos 1 do lado direito, então vamos dividir tudo por 36:

x 2 36 + 4 y 2 36 + 9 z 2 36 = 1

⇒   x 2 36 + y 2 9 + z 2 4 = 1

⇒ x 2 6 2 + y 2 3 2 + z 2 2 2 = 1

Show! E como os 3 sinais são positivos, essa é a equação de um elipsoide!

Inclusive podemos notar que ele é centrado na origem: não tem nenhum termo x - a 2 , y - b 2 ou z - c 2 , apenas x 2 , y 2 e z 2 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos ver o que acontece com a S quando ela intercepta os planos coordenados.

  • No plano x = 0 :
  • y 2 3 2 + z 2 2 2 = 1

  • No plano y = 0 :
  • x 2 6 2 + z 2 2 2 = 1

  • E no plano z = 0 :
  • x 2 6 2 + y 2 3 2 = 1

    E todas essas são equações de elipses, o que não é muito surpreendente, já que S é um elipsoide!

    Passo 3

    Agora vamos dar uma olhada em cada uma dessas elipses pra ajudar a gente a esboçar. A equação de uma elipse é da forma

    x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

    onde a é a metade do eixo maior e b é a metade do eixo menor. Isso vai ajudar a gente a determinar se as elipses são mais “gordas”, esticadas, etc.

  • No plano x = 0 :
  • y 2 3 2 + z 2 2 2 = 1

    Temos a = 3 e b = 2 , então ela é um pouco mais comprida no sentido do eixo y :

  • No plano y = 0 :
  • x 2 6 2 + z 2 2 2 = 1

    Essa tem a = 6 e b = 2 , ou seja a = 3 b . Então ela vai ser mais esticada:

  • No plano z = 0 :
  • x 2 6 2 + y 2 3 2 = 1

    Essa tem a = 2 b então vai ser meio que um intermediário das 2 outras:

    Ou seja, o elipsoide vai ser mais alongado no sentido do eixo x !

    Passo 4

    Agora não tem jeito, vamos esboçar S ! Temos que destacar as interseções com os planos coordenados, que são essas elipses aí de cima, então vamos fazer da seguinte forma:

  • a elipse do plano x = 0 de vermelho
  • a elipse do plano y = 0 de verde
  • a elipse do plano z = 0 de azul

Então o nosso elipsoide S vai ser:

Passo 3

(b)

Agora queremos as equações paramétricas da curva γ , interseção de S com o plano x = 0 .

Já vimos que essa curva γ é a elipse de equação

y 2 3 2 + z 2 2 2 = 1

Vamos lembrar como se parametriza uma elipse! Se temos

y 2 a 2 + z 2 b 2 = 1

então uma parametrização é

y t = a cos ⁡ t z t = b sen ⁡ t

Logo, uma parametrização de γ é:

x t = 0 y t = 3 cos ⁡ t z t = 2 sen ⁡ t       , t ∈ [ 0,2 π ]

Podemos verificar que

y 2 3 2 + z 2 2 2 = 3 2 cos 2 ⁡ t 3 2 + 2 2 sen 2 ⁡ t 2 2 = cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t = 1

Passo 4

(c)

Agora queremos os planos tangentes a S que sejam paralelos ao plano x - 4 y + 9 z = 1 .

Mas se os planos são paralelos, então os vetores normais deles também são, certo?

E o vetor normal do plano x - 4 y + 9 z = 1 a gente já sabe qual é! Lembrando que se temos um plano a x + b y + c z = d então o vetor ( a , b , c ) é normal ao plano. Logo, o vetor ( 1 , - 4 ,   9 ) é um vetor normal ao plano x - 4 y + 9 z = 1 .

Então agora só precisamos dos vetores normais dos planos tangentes a S ! Então agora se liga no passo a passo:

Passo 5

Vamos pegar a equação da S , jogar tudo pro lado esquerdo, deixando zero na direita:

x 2 + 4 y 2 + 9 z 2 = 36

⇒     x 2 + 4 y 2 + 9 z 2 - 36 = 0

Passo 6

Vamos chamar o lado esquerdo da equação de f ( x , y , z ) :

f x , y , z = x 2 + 4 y 2 + 9 z 2 - 36

Assim, a equação da S fica

f x , y , z = 0

Passo 7

Vamos calcular o gradiente da f :

∂ f ∂ x x , y , z = 2 x + 0 + 0 - 0

∂ f ∂ y x , y , z = 0 + 4.2 y + 0 - 0

∂ f ∂ z x , y , z = 0 + 0 + 9.2 z - 0

⇒   ∇ f x , y , z = ( 2 x , 8 y , 18 z )

Agora nós podemos constatar que o gradiente de f em um ponto qualquer de S é um vetor normal ao plano tangente a S nesse ponto!

Passo 8

O que concluímos disso tudo?

Simples, que pro plano tangente a S num ponto ( x , y , z ) ser paralelo ao plano x - 4 y + 9 z = 1 os vetores normais deles têm que ser paralelos, ou seja:

  ∇ f x , y , z = λ ( 1 , - 4 ,   9 )

⇒     ( 2 x , 8 y , 18 z ) = λ ( 1 , - 4 ,   9 )

Obtivemos um sistema!

2 x = λ 8 y = - 4 λ 18 z = 9 λ

Logo:

x = λ 2 y = - λ 2 z = λ 2

Então os pontos de S onde os planos tangentes são paralelos ao plano x - 4 y + 9 z = 1 são da forma

λ 2 ( 1 , - 1 ,   1 )

Passo 9

Agora só falta achar esse λ ! E pra isso vamos usar o fato dos pontos pertencerem a S e respeitarem sua equação:

x 2 + 4 y 2 + 9 z 2 = 36

λ 2 2 + 4 - λ 2 2 + 9 λ 2 2 = 36  

λ 2 + 4 λ 2 + 9 λ 2 4 = 36

14 λ 2 = 4.36

λ 2 = 4.36 14 = 72 7

⇒   λ = ± 72 7

Ufa! Afinal o λ deu esse valor estranho aí!

Passo 10

Enfim, os pontos que queríamos são da forma

λ 2 ( 1 , - 1 ,   1 )

± 1 2 72 7 ( 1 , - 1 ,   1 )

Por causa desse “ ± ” são 2 pontos, digamos P 1 e P 2 :

P 1 = x 1 , y 1 , z 1 = 1 2 72 7 ( 1 , - 1 ,   1 )

e

P 2 = x 2 , y 2 , z 2 = - 1 2 72 7 ( 1 , - 1 ,   1 )

Mas afinal, a gente quer a equação dos planos tangentes! Que são da forma

x , y , z ⋅ n → = P ⋅ n →

O vetor ( 1 , - 4 ,   9 ) é paralelo ao vetor normal desses planos, então ele serve de vetor n → . Ou seja, as equações dos planos são:

x , y , z ⋅ 1 , - 4 ,   9 = P 1 ⋅ ( 1 , - 4 ,   9 )

x - 4 y + 9 z = x 1 - 4 y 1 + 9 z 1

e

x , y , z ⋅ 1 , - 4 ,   9 = P 1 ⋅ ( 1 , - 4 ,   9 )

x - 4 y + 9 z = x 2 - 4 y 2 + 9 z 2

Resposta

(a)

(b)

x t = 0 y t = 3 cos ⁡ t z t = 2 sen ⁡ t       , t ∈ [ 0,2 π ]

(c)

x - 4 y + 9 z = x 1 - 4 y 1 + 9 z 1 e x - 4 y + 9 z = x 2 - 4 y 2 + 9 z 2

com x 1 , y 1 , z 1 = 1 2 72 7 ( 1 , - 1 ,   1 ) e x 2 , y 2 , z 2 = - 1 2 72 7 ( 1 , - 1 ,   1 )

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