Exercícios Resolvidos de Plano Tangente

Derivadas Parciais e o Vetor Gradiente, Plano Tangente e Reta normal

Determine os pontos da superfície x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 1 nos quais o plano tangente é paralelo ao plano 3 x - y + 3 z = 1 .

Passo 1

Beleza, qual a sua ideia pra resolver isso aí? Vamos montar uma estratégia de combate pra essa questão:

  • Temos a equação da superfície: Podemos achar a expressão genérica para seus planos tangentes!
  • Planos tangentes paralelos ao plano dado: Isso quer dizer que o vetor normal do plano dado é múltiplo dos vetores normais dos vetores dos planos tangentes!

Com essas duas informações, já podemos destrinchar todo o problema!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Primeiramente, encontremos a expressão para o plano tangente, qualquer que seja ele. Sabemos que o que define o plano é seu vetor normal e um ponto de tangência. Para um plano tangente, o vetor normal é o vetor gradiente:

S = x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 - 1

∇ S = S x , S y , S z

Derivando em relação a cada coordenada, temos:

S x = 2 x

S y = 4 y

S z = 6 z

E pronto, o vetor normal do plano é 2 x 0 , 4 y 0 , 6 z 0 , para um dado ponto de tangência x 0 , y 0 , z 0 !

Passo 3

Agora, encontremos o vetor normal do plano dado no enunciado:

3 x - y + 3 z = 1

O vetor normal é aquele formado pelos coeficientes de cada variável, logo, 3 , - 1,3 !

E então, sabemos que o vetor 2 x 0 , 4 y 0 , 6 z 0 deve ser múltiplo do vetor 3 , - 1,3 , assim:

2 x 0 , 4 y 0 , 6 z 0 = λ 3 , - 1,3

Passo 4

Com isso, podemos igualar as coordenadas de cada vetor, e, além disso, dizer que esse tal ponto x 0 , y 0 , z 0 segue a equação da superfície! O sistema fica assim:

2 x 0 = 3 λ 4 y 0 = - λ 6 z 0 = 3 λ x 0 2 + 2 y 0 2 + 3 z 0 2 = 1

Beleza, e agora é resolver esse sistema! Pelo o que me parece, podemos encontrar cada coordenada em função de λ , facilmente. Aí podemos jogar esses valores das coordenadas em função de λ na última equação, e encontramos os possíveis valores de λ ! Fica assim:

x 0 = 3 2 λ

y 0 = - 1 4 λ

z 0 = 1 2 λ

Passo 5

Jogando os valores valores na última equação, temos:

3 2 λ 2 + 2 - 1 4 λ 2 + 3 1 2 λ 2 = 1

Desenvolvendo...

9 4 λ 2 + 1 8 λ 2 + 3 4 λ 2 = 1

18 8 λ 2 + 1 8 λ 2 + 6 8 λ 2 = 1

25 8 λ 2 = 1

λ = ± 8 5

Passo 6

Beleza!! Agora pegamos esses dois valores de λ e jogamos nas equações do pontos:

Para x 0 :

x 0 = 3 2 λ

x 0 = ± 3 2 8 5 = ± 3 8 10

Para y 0 :

y 0 = - 1 4 λ

y 0 = ∓ 1 4 8 5 = ∓ 8 20

Para z 0 :

z 0 = 1 2 λ

z 0 = ± 1 2 8 5 = ± 8 10

E agora só combinar os valores das coordenadas para cada valor de λ !

Resposta

Pontos: 3 8 10 , - 8 20 , 8 10 e - 3 8 10 , 8 20 , - 8 10

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