4) Seja f : R 2 → R dado por f x , y = x x 4 + y 2 . Decida se f admite plano tangente ao seu gráfico no ponto ( 0,0 , f 0,0 ) e, em caso afirmativo, escreva a equação deste plano.

Passo 1

Fala aí, galerinha! Tudo belezinha com vocês?

Bom, a questão pede pra gente verificar se a função f x , y = x x 4 + y 2 admite plano tangente no ponto 0,0 , f 0,0 , e descobrir qual é a equação desse plano caso ela o admita. E pra fazer isso podemos usar os seguintes passos:

Caso seja necessário, substituir f ( x , y ) por z na equação da superfície

Jogar todas as variáveis para o lado esquerdo da equação e achar z 0

Chamar de F x , y , z a expressão deixada no lado esquerdo da equação

Calcular gradiente de F : ∇ F x , y , z

Calcular gradiente de F no ponto P 0 : ∇ F P 0 = ∇ F x 0 , y 0 , z 0

O vetor normal será n → = ∇ F P 0

Encaixar a tudo na equação do plano x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 ⋅ n → = 0

Passo 2

Vamos começar fazendo f x , y = x x 4 + y 2 = z . E jogar todas as variáveis para o lado esquerdo:

z - x x 4 + y 2 = 0

Passo 3

Vamos encontrar logo qual é a coordenada z do ponto dado no enunciado? É só a gente substituí-lo na expressão aqui de cima:

z - x x 4 + y 2 = 0 = 0

No ponto P = 0 , 0 , f 0,0 :

z 0 - 0 0 4 + 0 2 = 0

z 0 = 0

z 0 = 0

Passo 4

Ok, agora temos que

F x , y , z = z - x x 4 + y 2

Passo 5

Estamos prontos para calcular o vetor gradiente! Lembra da expressão dele?

∇ F x , y , z = F x , F y , F z

Como F x , y , z = z - x x 4 + y 2 , vamos calcular as derivadas parciais

F x x , y , z = - 3 x 4 + y 2 x 4 + y 2

F y x , y , z = - x y x 4 + y 2

F z x , y , z = 1

Passo 6

Assim, nosso vetor gradiente, no ponto dado, P = 0 , 0 , 0 , fica:

F x 0 , 0 , 0 = - 3 ⋅ 0 4 + 0 2 0 4 + 0 2

Mas essa coordenada não está definida. Assim, como a coordenada y . Veja

F y 0 , 0 , 0 = - 0 ⋅ 0 0 4 + 0 2

Apenas

F z 0 , 0 , = 1

Isso nos mostra que não é possível determinar o plano tangente ao gráfico da função dada.

Também podemos ver isso analisando seu gráfico. Veja:

Então concluímos que f x , y não admite plano tangente ao seu gráfico no ponto ( 0,0 , f 0,0 )

Prontinho!!

Resposta

Resposta:

f x , y não admite plano tangente ao seu gráfico no ponto 0,0 , f 0,0 .

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