7.a) Encontre a equação da reta tangente à curva

y 2 = e 2 x y

no ponto - e , 1 e .

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nessa questão foi pedido apenas para obter a equação da reta tangente à curva dada por y 2 = e 2 x y no ponto - e , 1 e .

A ideia é bem curtinha, não é? Mas como podemos fazer isso?? 🤔

Primeiro vamos passar todos os termos para um lado da igualdade deixando um lado como 0

y 2 = e 2 x y → e 2 x y - y 2 = 0

Agora fazemos f x , y = 0 , ou seja, f x , y = e 2 x y - y 2

Com isso, essa é a função que vamos trabalhar nessa questão!

O plano tangente a uma função f x , y é dado por

L x , y = f x 0 , y 0 + f x x 0 , y 0 x - x 0 + f y x 0 , y 0 y - y 0

No caso, x 0 e y 0 são as coordenadas do ponto que queremos estudar, ou seja, - e , 1 e . Logo x 0 = - e e y 0 = 1 e ,

Entendeu? Bora começar! 😎

Passo 2

Primeiro vamos obter f x 0 , y 0 substituindo o ponto - e , 1 e em f x , y .

f - e , 1 e = e 2 - e 1 e - 1 e 2

Simplificando o expoente de e 2 - e 1 e e como a b 2 é igual a a 2 b 2 , então

f - e , 1 e = e - 2 - 1 e 2

Com a imagem do ponto na função obtido, vamos começar as derivações.

Primeiro vamos derivar f com relação a x .

∂ f ∂ x = ∂ e 2 x y - y 2 ∂ x

Como a derivada da soma é igual a soma das derivadas, temos

∂ f ∂ x = ∂ e 2 x y ∂ x - ∂ y 2 ∂ x

Pela regra da cadeia, vamos derivar e 2 x y e como y se comporta como uma constante quando é derivado em relação a x , então a derivada de y 2 é igual a 0 .

A regra da cadeia calculamos como a derivada da função de dentro, que vamos chamar de g x , y = 2 x y , multiplicado pela derivada da função de fora e g x .

∂ e 2 x y ∂ x = ∂ g x ∂ x · ∂ e g x ∂ g x

∂ e 2 x y ∂ x = ∂ 2 x y ∂ x · ∂ e g x , y ∂ g x , y

Entendeu essa parte? 👀

Passo 3

Derivando 2 x y pelo método de derivação polinomial, temos

∂ 2 x y ∂ x = 2 x 1 - 1 y = 2 y

Agora derivando e g x , y com relação a g x , y vemos que se a derivada de e x em relação a x é igual a e x , logo

∂ e g x , y ∂ g x , y = e g x , y

Substituindo os resultados na derivada de e 2 x y e também g x , y por 2 x y de volta, temos

∂ e 2 x y ∂ x = 2 y e 2 x y

Substituindo esses resultados em ∂ f ∂ x

∂ f ∂ x = 2 y e 2 x y - 0

∂ f ∂ x = 2 y e 2 x y

Assim obtemos a derivada de f com relação a x que vamos usar daqui a pouco.

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 4

Agora vamos obter a derivada de f com relação a y

∂ f ∂ y = ∂ e 2 x y - y 2 ∂ y

A derivada da soma é igual a soma das derivadas, então

∂ f ∂ y = ∂ e 2 x y ∂ y - ∂ y 2 ∂ y

Novamente vamos derivar e 2 x y pela regra da cadeia e agora vamos derivar y 2 pelo método de derivação polinomial.

Considerando a função interna g x , y como 2 x y novamente

∂ e 2 x y ∂ y = ∂ 2 x y ∂ y · ∂ e g x , y ∂ g x , y

Derivando 2 x y pelo método de derivação polinomial com relação a y

∂ 2 x y ∂ y = 2 x y 1 - 1 = 2 x

Como já calculamos ∂ e g x , y ∂ g x , y anteriormente, podemos usar o mesmo resultado já com g x , y substituído.

∂ e g x , y ∂ g x , y = e 2 x y

Pra terminar as derivadas, vamos derivar y 2 pelo método de derivação polinomial.

∂ y 2 ∂ y = 2 · y 2 - 1 = 2 y

Juntando os resultados em ∂ f ∂ y , temos

∂ f ∂ y = 2 x e 2 x y - 2 y

Interessante, não é? 😁

Estamos quase no fim!

Passo 5

Agora temos que substituir o ponto - e , 1 e em f x e f y .

f x - e , 1 e = 2 1 e e 2 - e 1 e

f x - e , 1 e = 2 e e - 2

Simplificando passando e do denominador como e - 1 para o numerador, temos

f x - e , 1 e = 2 e - 3

Agora fazemos o mesmo para f y

f y - e , 1 e = 2 - e e 2 - e 1 e - 2 1 e

f y - e , 1 e = - 2 e e - 2 - 2 e

Simplificando - 2 e e - 2 , vamos obter

f y - e , 1 e = - 2 e - 1 - 2 e

Prontinho! Falta só substituirmos na equação do plano tangente! 🤩

Bora lá!

Passo 6

Só pra lembra de como ela é, temos

L x , y = f x 0 , y 0 + f x x 0 , y 0 x - x 0 + f y x 0 , y 0 y - y 0

L x , y = f - e , 1 e + f x - e , 1 e x - - e + f y - e , 1 e y - 1 e

Substituindo os resultados que obtemos

L x , y = e - 2 - 1 e 2 + 2 e - 3 x + e + - 2 e - 1 - 2 e y - 1 e

Simplificando o plano, temos

L x , y = e - 2 - 1 e 2 + 2 x e - 3 + 2 e - 2 + - 2 y e - 1 + 2 e - 1 e - 2 y e + 2 e 2

L x , y = e - 2 - 1 e 2 + 2 x e - 3 + 2 e - 2 - 2 y e - 1 + 2 e - 1 e - 2 y e + 2 e 2

Passando os denominadores para os numeradores com o expoente negativo

L x , y = e - 2 - e - 2 + 2 x e - 3 + 2 e - 2 - 2 y e - 1 + 2 e - 2 - 2 y e - 1 + 2 e - 2

Dessa forma, o plano tangente à curva y 2 = e 2 x y no ponto - e , 1 e é dado pela função

L x , y = 2 x e - 3 - 4 y e - 1 + 6 e - 2

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

L x , y = 2 x e - 3 - 4 y e - 1 + 6 e - 2

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