1.11. Determine k R para que o plano tangente ao gráfico de f x , y = ln ⁡ x 2 + k y 2 no ponto 2,1 , f 2,1 seja perpendicular ao plano 3 x + z = 0 .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema queremos obter o valor de k da função f x , y = ln ⁡ x 2 + k y 2 de modo que o plano tangente a f no ponto 2,1 , f 2,1 seja perpendicular a 3 x + z = 0 .

E aí, como vamos fazer isso? 😬

Primeiramente para obter o plano tangente a f temos que aplicar a equação

z = f x x 0 , y 0 x - x 0 + f y x 0 , y 0 y - y 0 + f x 0 , y 0

Já para descobrir se dois planos são perpendiculares, podemos obter seus vetores normais e verificar se o produto interno entre eles é igual a 0 .

Sacou? Bora começar!

Passo 2

Vamos começar encontrando as derivadas parciais de f .

Começando por f x , y se comporta como uma constante, ou seja

f x = ∂ ln ⁡ x 2 + k y 2 ∂ x

Aplicando a regra da cadeia, vamos obter

f x = ∂ x 2 + k y 2 ∂ x ∂ ln ⁡ u ∂ x

f x = 2 x 1 u  

f x = 2 x x 2 + k y 2  

Agora a derivada parcial com relação a y

f y = ∂ ln ⁡ x 2 + k y 2 ∂ y

Pelo mesmo método...

f y = ∂ x 2 + k y 2 ∂ y ∂ ln ⁡ u ∂ u

f y = 2 k y 1 u

f y = 2 k y x 2 + k y 2

Falta encontrarmos o valor de f 2,1

f 2,1 = ln ⁡ 2 2 + k 1 2

f 2,1 = ln ⁡ 4 + k

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Substituindo essas informações na equação do plano tangente, vamos obter

z = f x x 0 , y 0 x - x 0 + f y x 0 , y 0 y - y 0 + f x 0 , y 0

z = 2 2 2 2 + k 1 2 x - 2 + 2 k 1 2 2 + k 1 2 y - 1 + ln ⁡ 4 + k

z = 4 4 + k x - 2 + 2 k 4 + k y - 1 + ln ⁡ 4 + k

Organizando essa equação, temos

z = 4 4 + k x - 8 4 + k + 2 k 4 + k y - 2 k 4 + k + ln ⁡ 4 + k

4 4 + k x + 2 k 4 + k y - z - 2 k 4 + k - 8 4 + k + ln ⁡ 4 + k = 0

O vetor normal a um plano a x + b y + c z + d = 0 é dado por N = a , b , c , portanto o vetor normal ao plano tangente de f é dado por

N f = 4 4 + k ,   2 k 4 + k , - 1

Como queremos o plano que seja perpendicular ao plano 3 x + z = 0 , vamos obter que o plano normal a ele é dado por

N z = 3,0 , 1

E finalmente, se eles são perpendiculares, então N f · N z = 0

4 4 + k ,   2 k 4 + k , - 1 · 3,0 , 1 = 0

4 4 + k · 3 + 2 k 4 + k · 0 + - 1 · 1 = 0

12 4 + k - 1 = 0

12 4 + k = 1

12 = 4 k

k = 3

Então para f ser perpendicular a 3 x + z = 0 , k deve ser igual a 3

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

k = 3

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