Exercícios Resolvidos de Plano Tangente

Considere a superfície S de equação

a x 2 + b x y - c z = 2

Onde a ,   b ,   c são números reais. Se o plano de equação

2 x + y - 3 z = 0

É tangente a S no ponto ( 1,1 , 1 ) , então o produto a b c vale:

  1. - 2 3
  2. 3 2
  3. 2 9
  4. 1 3
  5. 3

Passo 1

Opa, falou de plano tangente! Vamos seguir o passo a passo de questões de plano tangente pra ver onde a gente consegue chegar.

Primeiro a gente substitui f ( x , y ) por z na equação da superfície, mas como nesse caso não é necessário, vamos começar jogando todas as variáveis para o lado esquerdo e chamando de F ( x , y , z ) :

F x , y , z = a x 2 + b x y - c z - 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos calcular o gradiente de F e substituir no ponto ( 1,1 , 1 ) .

∇ F x , y , z = ( 2 a x + b y , b x , - c )

Substituindo no ponto de tangencia:

∇ F 1,1 , 1 = ( 2 a + b , b , - c )

Esse é o vetor normal do plano tangente.

Passo 3

Agora é só substituir na equação do plano tangente:

x , y , z ∙ ∇ F = x 0 , y 0 , z 0 ∙ ∇ F

x , y , z ∙ ( 2 a + b , b , - c ) = 1,1 , 1 ∙ ( 2 a + b , b , - c )

x 2 a + b + y b - z c = 2 a + b + b - c

2 a + b x + b y - c z = 2 a + 2 b - c

Passo 4

Maaaas, a questão disse pra gente que a expressão do plano tangente é

2 x + y - 3 z = 0

Re

Assim, comparando as duas expressões, temos que:

2 a + b = 2

b = 1

c = 3

2 a + 2 b - c = 0

Tanto da primeira, quanto da ultima equação, podemos concluir que

a = 1 2

Passo 5

Assim, o produto é

a b c = 1 2 . 1.3 = 3 2

Resposta

Letra b

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