Encontre os pontos no elipsoide x 2 4 + y 2 9 + z 2 = 14 onde o plano tangente é paralelo ao plano x - y - z = 0 .

Passo 1

Vamos começar ajeitando definindo uma nova função. Temos:

F x , y , z = x 2 4 + y 2 9 + z 2 - 14

Passo 2

Beleza. Agora vamos calcular o gradiente:

n → = ∇ F = x 2 , 2 y 9 , 2 z

Num ponto qualquer pertencente a elipsoide, temos:

n → = ∇ F = x 0 2 , 2 y 0 9 , 2 z 0

Passo 3

Um plano tangente paralelo a outro plano significa que os vetores normais aos planos também são paralelos. Ou seja, o vetor gradiente da função é paralelo (múltiplo) do vetor normal ao plano dado.

O vetor normal ao plano x - y - z = 0 , é o vetor v → = 1 , - 1 , - 1 . Então temos:

∇ F = λ v →

x 0 2 , 2 y 0 9 , 2 z 0 = λ 1 , - 1 , - 1

Então, temos:

x 0 = 2 λ ,   y 0 = - 9 2 λ   ,   z 0 = - λ 2

Passo 4

Mas o ponto x 0 , y 0 , z 0 deve pertencer a elipsoide. Substituindo:

( 2 λ ) 2 4 + - 9 2 λ 2 9 + - λ 2 2 = 14

λ 2 + 9 λ 2 4 + λ 2 4 = 14

Então:

λ 2 = 4 → λ = ± 2

Passo 5

Finalmente, encontramos os valores de x 0 , y 0 , z 0 :

Para λ = 2

x 0 = 4

y 0 = - 9

z 0 = - 1

Para λ = - 2

x 0 = - 4

y 0 = 9

z 0 = 1

Ou seja, temos os pontos:

P 1 = 4 , - 9 , - 1

P 2 = - 4,9 , 1

Resposta

P 1 = 4 , - 9 , - 1

P 2 = - 4,9 , 1

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