Exercícios Resolvidos de Plano Tangente

Considere o hiperboloide H definido por

x 2 4 + y 2 16 - z 2 4 = 9

  1. Encontre a equação do plano tangente a H no ponto ( 6,4 , 2 )
  2. Encontre outro ponto x , y , z ∈ H tal que o plano tangente a H em ( x , y , z ) seja paralelo ao plano encontrado no item a .

Passo 1

a )

Adoro questão de plano tangente! O passo a passo já tá na veia

Jogando tudo pra um lado só e chamando de F ( x , y , z ) :

F x , y , z = x 2 4 + y 2 16 - z 2 4 - 9

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Calculando o vetor gradiente de F ( x , y , z ) :

∇ F x , y , z = 2 x 4 , 2 y 16 , - 2 z 4

∇ F x , y , z = x 2 , y 8 , - z 2

No ponto de tangencia ( 6,4 , 2 ) :

∇ F 6,4 , 2 = 6 2 , 4 8 , - 2 2

∇ F 6,4 , 2 = 3 , 1 2 , - 1

Passo 3

Substituindo na equação do plano tangente:

x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 ⋅ n → = 0

x - 6 , y - 4 , z - 2 ⋅ 3 , 1 2 , - 1 = 0

3 x - 6 + 1 2 y - 4 - z - 2 = 0

z = 3 x - 6 + 1 2 y - 4 + 2

Passo 4

b )

Agora precisamos encontrar um ponto de modo que o plano tangente a H nesse novo ponto seja paralelo ao plano que achamos na letra a .

Para dois planos serem paralelos, precisamos que os vetores normais a esses planos sejam paralelos.

Assim, para achar o ponto em que o vetor normal ao plano (que é o vetor gradiente de F calculado nesse ponto) é paralelo ao vetor 3 , 1 2 , - 1 que achamos na letra a , basta dizermos que esses dois vetores tem que ser múltiplos:

∇ F x , y , z = λ 3 , 1 2 , - 1

x 2 , y 8 , - z 2 = λ 3 , 1 2 , - 1

Igualando as coordenadas, temos

x 2 = 3 λ

y 8 = λ 2

- z 2 = - λ

Passo 5

Resolvendo esse sistema, da última equação, tiramos diretamente que

λ = z 2

Substituindo nas duas primeiras equações:

x 2 = 3 z 2 ⇒ x = 3 z

y 8 = z 4 ⇒ y = 2 z

Beleza, com isso a gente escreveu x e y em função de z , mas a gente ainda não sabe o valor de z , então ainda não temos como saber os valores de x e de y .

Passo 6

Mas aí, meu jovem, aí que entra o pulo the lo gato!

Precisamos lembrar que o ponto ( x , y , z ) deve pertencer a superfície H , pois é o ponto de tangência, portanto, pertence ao plano e a superfície.

Assim, esse ponto ( x , y , z ) deve satisfazer a equação de H :

x 2 4 + y 2 16 - z 2 4 = 9

Substituindo os valores de x e y em função de z que achamos no passo 5:

( 3 z ) 2 4 + ( 2 z ) 2 16 - z 2 4 = 9

9 z 2 4 + 4 z 2 16 - z 2 4 = 9

9 z 2 4 + z 2 4 - z 2 4 = 9

9 z 2 4 = 9

z 2 = 4

z = ± 2

Assim, temos

x = 3 z = ± 6

y = 2 z = ± 4

z = ± 2

Temos portanto, dois pontos:

( 6,4 , 2 )

( - 6 , - 4 , - 2 )

Acontece que esse primeiro ponto já é o ponto dado na letra a . E na letra b a questão pede um outro ponto, portanto, nossa resposta é o ponto

( - 6 , - 4 , - 2 )

Resposta

a )   z = 3 x - 6 + 1 2 y - 4 + 2

b )   ( - 6 , - 4 , - 2 )

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