Exercícios Resolvidos de Plano Tangente

Plano Tangente e Reta Normal

O plano tangente à superfície x 4 + y 2 + 2 z 2 = 4 no ponto ( 1,1 , 1 ) intercepta o eixo dos x quando:

(a) x = 1 4

(b) x = 1

(c) x = 5 2

(d) x = 0

(e) x = 2

Passo 1

Vamos achar a equação desse plano tangente! :D

Primeiro vamos pegar a equação da superfície, jogar tudo pro lado esquerdo, deixando zero na direita:

x 4 + y 2 + 2 z 2 - 4 = 0

Agora vamos chamar o lado esquerdo da equação de f :

f x , y , z = x 4 + y 2 + 2 z 2 - 4

Vamos calcular o gradiente da f :

f x x , y , z = 4 x 3 + 0 + 0 - 0

f y x , y , z = 0 + 2 y + 0 - 0

f z x , y , z = 0 + 0 + 4 z - 0

⇒ ∇ f x , y , z = 4 x 3 , 2 y , 4 z

Assim, no ponto ( 1,1 , 1 ) :

∇ f x , y , z = ( 4,2 , 4 )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto ( 1,1 , 1 ) é:

x , y , z ⋅ ∇ f 1,1 , 1 = 1,1 , 1 ⋅ ∇ f ( 1,1 , 1 )

x , y , z ⋅ 4,2 , 4 = 1,1 , 1 ⋅ ( 4,2 , 4 )

⇒ 4 x + 2 y + 4 z = 4 + 2 + 4 = 10

Passo 3

Beleza, achamos a equação do plano, agora queremos saber quando ele intercepta o eixo dos x .

Se ele intercepta o eixo x , então y = 0 e z = 0 . Ou seja:

4 x + 2.0 + 4.0 = 10

4 x = 10

⇒ x = 5 2

Resposta

Alternativa (c)

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