Exercícios Resolvidos de Plano Tangente

Seja C a curva espacial parametrizada por

α t = 2 cos ⁡ t sen ⁡ t , 3 sen ⁡ t sen ⁡ t , 4 cos ⁡ t

t ∈ 0 , π 2

  1. Encontre uma superfície S dada por f x , y , z = c tal que o traço de α   esteja completamente contido em S . Exiba o normal N de S no ponto ( x 0 , y 0 , z 0 ) .
  2. Considere P = 1 , 3 2 ,   2 2 . Escreva a equação cartesiana do plano Π , tangente a S no ponto P .
  3. Escreva a equação paramétrica do plano Π , tangente a S no ponto P .
  4. Escreva a equação cartesiana do plano Ω passando por P , sabendo que α ' π 4 e N são tangentes a Ω em P .
  5. Encontre um ponto P 1 = ( x 1 , y 1 , z 1 ) ∈ S tal que o vetor normal a S em P 1 é paralelo ao vetor 0 , 2 3 , 2 4 .

Passo 1

Primeiramente, vamos entender o que esse enunciado quer.

Ele quer saber uma f ( x , y , z ) que contém a imagem de α , para, a partir dessa f ( x , y , z ) , encontramos uma superficie de nível S dada por f x , y , z = c .

Isso significa que temos a equação paramétrica de α e partir dela, precisamos achar a equação cartesiana de α .

E essa equação cartesiana será a equação do gráfico de f ( x , y , z ) pois a imagem de α está contida na f .

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Passo 2

Então vamos lá.

x t = 2 cos ⁡ t sen ⁡ t

y t = 3 sen 2 ⁡ t

z t = 4 cos ⁡ t

Beleza, não faço ideia do que seja isso.

Que tal tentarmos elevar tudo ao quadrado e depois somar, pra ver se conseguimos sumir com senos e cossenos?

Ficamos com

x t 2 + y t 2 + z t 2

2 cos ⁡ t sen ⁡ t 2 + 3 sen 2 ⁡ t 2 + 4 cos ⁡ t 2

4 cos 2 ⁡ t sen 2 ⁡ t + 9 sen 4 ⁡ t + 16 cos 2 ⁡ t

sen 2 ⁡ t 4 cos 2 ⁡ t + 9 sen 2 ⁡ t + 16 cos 2 ⁡ t

Bom, me parece que quase que temos um cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t nessa equação aí. O que atrapalhou a gente foram esses coeficientes que estão multiplicando o seno e cosseno.

Assim, vamos voltar um pouquinho, na terceira linha dessa nossa continha, e dividir os senos e cossenos pelos coeficientes deles:

4 cos 2 ⁡ t sen 2 ⁡ t 4 + 9 sen 4 ⁡ t 9 + 16 cos 2 ⁡ t 16

Cortando numerador com denominador, vamos ficar com

cos 2 ⁡ t sen 2 ⁡ t + sen 4 ⁡ t + cos 2 ⁡ t

Agora fazendo a mesma coisa que fizemos antes de colocar o sen 2 ⁡ t em evidencia

sen 2 ⁡ t cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t

OPA, agora sim. Usando a relação fundamental da trigonometria, chegamos em

sen 2 ⁡ t 1 + cos 2 ⁡ t = 1

Passo 3

Quer dizer, quando pegamos o x ( t ) , y ( t ) e z ( t ) e dividimos por seus coeficientes e elevamos ao quadrado e somamos tudo, chegamos que isso é igual a 1 . Em outras palavras:

x t 2 4 + y t 2 9 + z t 2 16 = 1

Ou seja, o traço de α está contido no elipsoide x 2 4 + y 2 9 + z 2 16 = 1

Assim,

f x , y , z = x 2 4 + y 2 9 + z 2 16

c = 1

Passo 4

Um vetor normal a S é o vetor gradiente de f :

∇ f = 2 x 4 , 2 y 9 , 2 z 16

∇ f = x 2 , 2 y 9 , z 8

N = ∇ f ( x 0 , y 0 , z 0 ) = x 0 2 , 2 y 0 9 , z 0 8

Passo 5

b )

Agora queremos a equação cartesiana do plano tangente a S no ponto P = 1 , 3 2 ,   2 2 .

Já sabemos que S é a superfície

x 2 4 + y 2 9 + z 2 16 = 1

Para achar a equação do plano tangente a ela, é só acharmos um vetor normal a essa superfície.

Ora, mas isso a gente já achou no passo anterior:

N = x 0 2 , 2 y 0 9 , z 0 8

Passo 6

Substituindo o ponto de tangencia nesse vetor N aí de cima, temos:

N = 1 2 , 2 3 2 9 , 2 2 8

N = 1 2 , 3 9 , 2 2 8

N = 1 2 , 1 3 , 2 4

Passo 7

A equação cartesiana do plano tangente fica, então:

x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 ∙ N = 0

x - 1 y - 3 2 , z -   2 2 ∙ 1 2 , 1 3 , 2 4 = 0

1 2 x - 1 + 1 3 y - 3 2 + 2 4 z - 2 2 = 0

Passo 8

c )

Agora precisamos pegar esse plano tangente que achamos e parametrizar ele, ou seja, escrevê-lo em função de parâmetros.

A equação paramétrica do plano é dada por

Π s , t = P 0 + v → ∙ s + w → ∙ t     ,   s , t ∈ R

Que é bem parecida com a equação paramétrica da reta, certo? Só que agora temos 2 parâmetros e 2 “vetores diretores”, que são vetores paralelos ao plano.

Isso significa que precisamos achar dois vetores paralelos ao plano.

Passo 9

Pensa comigo: o plano Π é tangente a S . S é uma superfície que contém a curva α . Assim, o plano tangente a S também é tangente a α .

Isso significa que um vetor paralelo a curva α é um vetor paralelo ao plano.

E vetor paralelo a curva a gente já sabe, é só derivar a curva e calcular essa derivada no valor de t 0 correspondente ao ponto de tangencia P .

Então vamos lá:

α t = 2 cos ⁡ t sen ⁡ t , 3 sen ⁡ t sen ⁡ t , 4 cos ⁡ t

α ' t = - 2 sen ⁡ t sen ⁡ t + 2 cos ⁡ t cos ⁡ t , 6 sen ⁡ t cos ⁡ t , - 4 sen ⁡ t

α ' t = - 2 sen 2 ⁡ t + 2 cos 2 ⁡ t , 6 sen ⁡ t cos ⁡ t , - 4 sen ⁡ t

Passo 10

Falta descobrir o valor de t 0 correspondente ao ponto de tangencia P . Pra isso, é só igualar as coordenadas:

α t 0 = 2 cos ⁡ t 0 sen ⁡ t 0 , 3 sen 2 ⁡ t 0 , 4 cos ⁡ t 0 = 1 , 3 2 ,   2 2

2 cos ⁡ t 0 sen ⁡ t 0 = 1

3 sen 2 ⁡ t 0 = 3 2

4 cos ⁡ t 0 =   2 2

Resolvendo esse sistema, temos que t 0 = π 4 .

Passo 11

Calculando α ' t 0 = α ' π 4 :

α ' t = - 2 sen 2 ⁡ π 4 + 2 cos 2 ⁡ π 4 , 6 sen ⁡ π 4 cos ⁡ π 4 , - 4 sen ⁡ π 4

α ' t = 0,3 , - 2 2

UFA, então temos nosso primeiro vetor paralelo ao plano tangente:

v → = 0,3 , - 2 2

Passo 12

Agora, para achar o outro vetor paralelo ao plano podemos fazer o produto vetorial entre o vetor N , normal ao plano, e esse vetor v → , paralelo ao plano, que acabamos de achar.

Porque aí, teremos um vetor que será perpendicular a esses dois vetores, mas será também tangente ao plano tangente. (tente fazer a regra da mão direita pra entender melhor: o seu polegar é o vetor N , o dedo indicador é o vetor v → e o dedo do meio será o vetor w → ).

Vamos lá então:

w → = N × v →

w → = i j k 1 2 1 3 2 4 0 3 - 2 2

w → = 17 2 12 ,   - 2 ,   - 3 2

Passo 13

Enfim, temos os dois vetores paralelos ao plano tangente:

v → = 0,3 , - 2 2

w → = 17 2 12 ,   - 2 ,   - 3 2

Substituindo na equação paramétrica do plano tangente:

Π s , t = 1 , 3 2 ,   2 2 + 0,3 , - 2 2 ∙ s + 17 2 12 ,   - 2 ,   - 3 2 ∙ t     ,   s , t ∈ R

Passo 14

d )

Agora queremos a equação cartesiana do plano Ω , passando por P , sabendo que α ' π 4 e N são tangentes a Ω em P .

Bo, de novo, pela regra da mão direita, se α ' π 4 = v → e N são tangentes ao plano Ω , então, o vetor w → , que é perpendicular a esses dois vetores pelo produto vetorial N × v → , será normal ao plano Ω .

Assim, a equação cartesiana do plano Ω , que passa por P , será:

x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 ∙ w → = 0

x - 1 y - 3 2 , z -   2 2 ∙ 17 2 12 ,   - 2 ,   - 3 2 = 0

17 2 12 x - 1 - 2 y - 3 2 - 3 2 z - 2 2 = 0

Passo 15

e )

Agora queremos um ponto de S para que o vetor normal a S nesse ponto seja paralelo ao vetor 0 , 2 3 , 2 4 .

O vetor normal a S já sabemos que é o vetor

∇ f = x 2 , 2 y 9 , z 8

Para ele ser paralelo ao vetor 0 , 2 3 , 2 4 , esses dois vetores tem que ser múltiplos, ou seja:

x 2 , 2 y 9 , z 8 = λ 0 , 2 3 , 2 4

Temos o sistema:

x 2 = 0

2 y 9 = λ 2 3

z 8 = λ 2 4

Que nos dá

x = 0

y = λ 2 3 ∙ 9 2 = 3 λ 2 2

z = 8 λ 2 4 = 2 λ 2

Passo 16

Beleza, mas isso não quer dizer nada pois não sabemos o valor de λ .

Mas, devemos lembrar que x ,   y ,   z deve atender a equação da superfície S . Assim:

x 2 4 + y 2 9 + z 2 16 = 1

0 2 4 + 3 λ 2 2 2 9 + 2 λ 2 2 16 = 1

18 λ 2 36 + 8 λ 2 16 = 1

72 λ 2 + 72 λ 2 = 144

144 λ 2 = 144

λ = ± 1

Assim, tomando, por exemplo, λ = 1 , temos que o ponto P 1 é

P 1 = 0 , 3 λ 2 2 , 2 λ 2    

P 1 = 0 , 3 2 2 , 2 2    

Resposta

a )

f x , y , z = x 2 4 + y 2 9 + z 2 16

c = 1

N = x 0 2 , 2 y 0 9 , z 0 8

b )

1 2 x - 1 + 1 3 y - 3 2 + 2 4 z - 2 2 = 0

c )

Π s , t = 1 , 3 2 ,   2 2 + 0,3 , - 2 2 ∙ s + 17 2 12 ,   - 2 ,   - 3 2 ∙ t     ,   s , t ∈ R

d )

17 2 12 x - 1 - 2 y - 3 2 - 3 2 z - 2 2 = 0

e )

P 1 = 0 , 3 2 2 , 2 2    

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