Exercícios Resolvidos de Plano Tangente

Duas superfícies que passem por um mesmo ponto P são ditas tangentes neste ponto se elas tiverem um plano tangente comum em P .

Se as superfícies de equações

x 2 + y 2 - z = 0

a x 3 + b x y + c z 2 = 35

São tangentes no ponto P = ( 1,2 , 5 ) , então o valor de a + b + c é:

  1. 19
  2. - 21
  3. 31
  4. 13
  5. - 12

Passo 1

Se as duas superfícies são tangentes no ponto P , como a própria questão diz pra gente, elas tem que ter um plano tangente em comum.

Isso significa que os vetores normais ao plano tangente às duas superfícies tem que ser paralelos.

Vamos achar o vetor normal do plano tangente da primeira superfície:

x 2 + y 2 - z = 0

Chamando isso dai de F ( x , y , z ) , temos

F x , y , z = x 2 + y 2 - z

O gradiente disso será

∇ F x , y , z = ( 2 x , 2 y , - 1 )

No ponto P = ( 1,2 , 5 ) :

∇ F 1,2 , 5 = ( 2.1,2.2 , - 1 )

∇ F 1,2 , 5 = ( 2,4 , - 1 )

E esse é o vetor normal ao plano tangente dessa superfície.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos encontrar o vetor normal ao plano tangente da outra superfície:

a x 3 + b x y + c z 2 = 35

Jogando tudo pra esquerda e chamando de G ( x , y , z ) :

G x , y , z = a x 3 + b x y + c z 2 - 35

Calculando o gradiente:

∇ G x , y , z = 3 a x 2 + b y , b x ,   2 c z

Substituindo no ponto P = ( 1,2 , 5 ) :

∇ G 1,2 , 5 = 3 a . 1 2 + b . 2 , b . 1 ,   2 c . 5

∇ G 1,2 , 5 = 3 a + 2 b , b , 10 c

E esse é o vetor normal ao plano tangente dessa superfície.

Passo 3

Então, achamos os vetores normais do plano tangente às duas superfícies.

Mas a gente não tinha dito que o plano tangente a essas duas superfícies tinha que ser o mesmo plano tangente?

Então esses dois vetores são o “mesmo” vetor. Mas não exatamente o MESMO, porque pra representarem o mesmo plano, eles só precisam estar na mesma direção, mas podem ter módulos diferentes. Então podemos dizer que os dois vetores normais que achamos são paralelos:

λ ∇ F 1,2 , 5 = ∇ G 1,2 , 5

λ 2,4 , - 1 = 3 a + 2 b , b , 10 c

Assim

3 a + 2 b = 2 λ

b = 4 λ

10 c = - 1 λ

Substituindo a segunda equação na primeira, temos

3 a + 2.4 λ = 2 λ

a = - 2 λ

E da terceira equação, podemos tirar o valor de c :

c = - λ 10

Agora, vamos jogar esses valores encontrados na superfície dada no enunciado:

a x 3 + b x y + c z 2 = 35

- 2 λ x 3 + 4 λ x y - λ z 2 10 = 35

Sabendo que estamos utilizando P = ( 1,2 , 5 ) - 2 λ . 1 3 + 4 λ . 1.2 - λ 5 2 10 = 35

- 2 λ . + 8 λ - 25 λ 10 = 35

6 λ - 25 λ 10 = 35

60 λ - 25 λ 10 = 35

λ = 10

Passo 4

Show, agora que encontramos λ = 10 , vamos substituir nos valores de a , b   , c :

a = - 2 λ =   - 20

b = 4 λ = 40

c = - λ 10 =   - 1

Agora, somando tudo:

a + b + c = - 2 0 + 4 0 - 1 = 19

Resposta

L e t r a   a

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