Exercícios Resolvidos de Plano Tangente

Plano Tangente e Reta Normal

Determine a equação do plano tangente à superfície

z = x sen ⁡ ( x + y )

no ponto ( - 1 ,   1 ,   0 ) .

(a) x + y + z = 0

(b) x - y - z = - 2

(c) x + y - z = 0

(d) x - y + z = 2

(e) Nenhuma das outras alternativas.

Passo 1

Questão clássica de plano tangente, basta seguir o passo a passo! :D

Primeiro, vamos pegar a equação da superfície e jogar tudo pro mesmo lado, deixando zero do outro! Aqui podemos fazer

x sen ⁡ ( x + y ) - z = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora chamamos o lado esquerdo da equação de f :

f x , y , z = x sen ⁡ ( x + y ) - z

Assim, a equação da superfície é

f x , y , z = 0

Passo 3

Beleza, agora temos que calcular o gradiente da f !

Com a regra do produto, temos

∂ f ∂ x x , y , z = 1 * sen ⁡ ( x + y ) + x cos ⁡ ( x + y ) * 1 - 0 = sen ⁡ ( x + y ) + x cos ⁡ ( x + y )

∂ f ∂ y x , y , z = x cos ⁡ ( x + y ) * 1 - 0 = x cos ⁡ ( x + y )

∂ f ∂ z x , y , z = 0 - 1 = - 1

⇒ ∇ f x , y , z = sen ⁡ x + y + x cos ⁡ x + y ,   x cos ⁡ x + y ,   - 1

Ou seja, no ponto ( - 1 ,   1 ,   0 ) :

x + y = - 1 + 1 = 0

⇒ ∇ f - 1 ,   1 ,   0 = sen ⁡ 0 - cos ⁡ 0 ,   - cos ⁡ 0 ,   - 1 = ( - 1 , - 1 , - 1 )

Passo 4

E esse gradiente ∇ f - 1 ,   1 ,   0 é um vetor normal à superfície f x , y , z = 0 no ponto ( - 1 ,   1 ,   0 ) !

E isso é ótimo, porque podemos aplicar a fórmula do plano tangente! Num ponto P 0 onde o vetor normal à superfície é n → , temos

x , y , z ⋅ n → = P 0 ⋅ n →

Ou seja, aqui vamos ter

x , y , z ⋅ ∇ f - 1 ,   1 ,   0 = - 1 ,   1 ,   0 ⋅ ∇ f - 1 ,   1 ,   0

⇒ x , y , z ⋅ - 1 , - 1 , - 1 = - 1 ,   1 ,   0 ⋅ ( - 1 , - 1 , - 1 )

⇒   - x - y - z = 1 - 1 + 0 = 0

Multiplicando tudo por - 1 , caímos na letra (a):

x + y + z = 0

Resposta

Alternativa (a)

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