Exercícios Resolvidos de Plano Tangente

Encontre os pontos sobre a superfície

x 2 + y 2 - z 2 = - 2

De tal maneira que o plano tangente seja paralelo ao plano x + y + 2 z = 1 .

Passo 1

Para que o plano tangente a superfície dada seja paralelo ao plano x + y + 2 z = 1 , temos que o vetor normal de ambos os planos devem ser paralelos.

O vetor normal do plano x + y + 2 z = 1 é

( 1,1 , 2 )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos agora descobrir o vetor normal do plano tangente.

Para isso, precisamos jogar tudo da equação da superfície para a esquerda e chamar isso de F ( x , y , z ) , assim:

x 2 + y 2 - z 2 + 2 = 0   ⇒ F x , y , z = x 2 + y 2 - z 2 + 2

Passo 3

Agora vamos encontrar o vetor gradiente de F :

∇ F x , y , z = F x , F y , F z

∇ F x , y , z = 2 x , 2 y , - 2 z

Esse é o vetor normal al plano tangente.

Passo 4

Agora, como esses dois vetores normais que encontramos precisam ser paralelos, temos que existe um número λ ∈ R tal que:

2 x , 2 y , - 2 z = λ ( 1,1 , 2 )

Ficamos com o sistema

2 x = λ 2 y = λ - 2 z = 2 λ

Das duas primeiras equações, temos que

x = y = λ 2

E da ultima equação temos que:

z = - λ

Temos então o ponto de tangencia λ 2 , λ 2 ,   - λ .

Passo 5

Mas, esse ponto deve estar sobre a superfície, assim:

x 2 + y 2 - z 2 = - 2

λ 2 2 + λ 2 2 - ( - λ ) 2 = - 2

λ 2 2 - λ 2 = - 2

- λ 2 2 = - 2

λ = ± 2

Logo, temos os pontos:

2 2 , 2 2 ,   - 2 = 1,1 , - 2

- 2 2 ,   - 2 2 , 2 = ( - 1 , - 1,2 )

Resposta

1,1 , - 2

( - 1 , - 1,2 )

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