Duas superfícies S 1 e S 2 são tangentes no ponto P quando P ∈ S 1 ∩ S 2 e os planos tangentes a S 1 e a S 2 no ponto P coincidem. O elipsóide S 1 : 3 x 2 + 2 y 2 + z 2 - 9 = 0 e a esfera S 2 : x 2 + y 2 + z 2 - 8 x - 6 y - 8 z + 24 = 0 são tangentes no ponto P = ( 1,1 , 2 ) ? Justifique com cuidado.

Passo 1

Oiie, tudo bem com você?

O enunciado primeiro nos indica uma maneira de checar se as duas superfícies são tangentes, é necessário que no ponto P em que as superfícies se tocam tenhamos

P ∈ S 1 ∩ S 2

ou seja, o ponto pertence às duas superfícies. E, também é necessário que o plano tangente a esse ponto seja o mesmo para ambas as superfícies. O plano tangente à uma superfície pode ser obtido através do gradiente

∇ → F ( x , y , z ) = ( ∂ F ∂ x , ∂ F ∂ y , ∂ F ∂ z )

já que este vetor é também normal ao plano tangente quando avaliado em um ponto. Portanto, vamos verificar que o plano tangente é o mesmo para ambas as superfícies S 1 e S 2 . Neste caso específico, devemos fazer isso para

S 1 : 3 x 2 + 2 y 2 + z 2 - 9 = 0 e S 2 : x 2 + y 2 + z 2 - 8 x - 6 y - 8 z + 24 = 0

no ponto P = ( 1,1 , 2 ) . Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o ponto P pertence a ambas as superfícies. Como fazemos isso? É só substituir as coordenadas no ponto da equação e ver se ele respeita a forma funcional da superfície! Saca só, temos que

S 1 : 3 ( 1 ) 2 + 2 ( 1 ) 2 + ( 2 ) 2 - 9 = 0

isso é o mesmo que

9 - 9 = 0

Portanto, a equação é respeitada! Agora para a outra superfície, temos que

S 2 : ( 1 ) 2 + ( 1 ) 2 + ( 2 ) 2 - 8 ( 1 ) - 6 ( 1 ) - 8 ( 2 ) + 24 = 0

que também é identicamente obedecida! Vamos agora calcular os vetores gradientes!

Passo 3

Para calcular os vetores gradientes temos que definir duas funções da forma

F 1 ( x , y , z ) = 3 x 2 + 2 y 2 + z 2 - 9 e F 2 ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 - 8 x - 6 y - 8 z + 24 = 0

Usando a regra do tombo

∂ ∂ x [ x n ] = n x n - 1

note que esse é só o exemplo para a derivada parcial de x n em relação a x , derivar y n ou z n em relação a y   e z respectivamente é análogo, e, lembre também que a derivada em relação a uma variável considera todas as outras como constante, e derivadas de constantes é sempre zero, portanto

∂ ∂ x [ y n ] = 0

por exemplo, analogamente para as outras, sendo assim, temos que o gradiente é dado por

∇ → F 1 ( x , y , z ) = ( 6 x , 4 y , 2 z ) e ∇ → F 2 ( x , y , z ) = ( 2 x - 8,2 y - 6,2 z - 8 )

Se avaliarmos ambos os gradientes em P = ( 1,1 , 2 ) , temos que

∇ → F 1 ( 1,1 , 2 ) = ( 6,4 , 4 ) e ∇ → F 2 ( 1,1 , 2 ) = ( - 6 , - 4 , - 4 )

note que

∇ → F 1 ( x , y , z ) = - ∇ → F 2 ( x , y , z )

Portanto, o vetor normal ao plano tangente é paralelo para ambas as superfícies, sendo assim, as duas têm o mesmo plano tangente! E desta forma podemos garantir que elas se tangenciam! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Ao longo dos passos.

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