Seja

f x , y = x cos ⁡ x y

Mostre que os planos tangentes ao gráfico de f contém a origem.

Passo 1

Se os planos tangentes ao gráfico de f contém a origem, então significa que o ponto ( 0,0 , 0 ) satisfaz a equação do plano. Vamos ver.

Lembra do passo a passo?

  1. Caso seja necessário, substituir f ( x , y ) por z na equação da superfície
  2. Jogar tudo para o lado esquerdo na equação da superfície e deixar zero no lado direito
  3. Chamar de F x , y , z a expressão deixada no lado esquerdo da equação
  4. Calcular gradiente de F : ∇ F x , y , z
  5. Calcular gradiente de F no ponto P 0 : ∇ F P 0 = ∇ F x 0 , y 0 , z 0
  6. O vetor normal será n → = ∇ F P 0
  7. Substituir na equação do plano: x , y , z ⋅ n → = P 0 ⋅ n →

Passo 2

Conforme diz no passo 1, vamos substituir f ( x , y ) por z na equação da superfície.

z = x cos ⁡ x y

Agora vamos jogar tudo pro lado esquerdo e chamar isso de F ( x , y , z ) :

F x , y , z = z - x cos ⁡ x y

Passo 3

Vamos calcular o vetor gradiente de F :

∇ F x , y , z = - cos ⁡ x y + x sen ⁡ x y ∙ 1 y   , x sen ⁡ x y ∙ - x y 2   ,   1

∇ F x , y , z = x y sen ⁡ x y - cos ⁡ x y   , - x ² y 2 sen ⁡ x y   ,   1

Substituindo num ponto genérico de tangencia P 0 = ( x 0 , y 0 , z 0 ) :

∇ F ( x 0 , y 0 , z 0 ) = x 0 y 0 sen ⁡ x 0 y 0 - cos ⁡ x 0 y 0   , - x 0 ² y 0 2 sen ⁡ x 0 y 0   ,   1

Passo 4

Agora vamos substituir na equação do plano:

x , y , z ⋅ n → = P 0 ⋅ n →

x , y , z ∙ x 0 y 0 sen ⁡ x 0 y 0 - cos ⁡ x 0 y 0   , - x 0 ² y 0 2 sen ⁡ x 0 y 0   ,   1 = x 0 , y 0 , z 0 ∙ x 0 y 0 sen ⁡ x 0 y 0 - cos ⁡ x 0 y 0   , - x 0 ² y 0 2 sen ⁡ x 0 y 0   ,   1

x . x 0 y 0 sen ⁡ x 0 y 0 - x cos ⁡ x 0 y 0 - y . x 0 ² y 0 2 sen ⁡ x 0 y 0 + z = x 0 2 y 0 sen ⁡ x 0 y 0 - x 0 cos ⁡ x 0 y 0 - x 0 ² . y 0 y 0 2 sen ⁡ x 0 y 0 + z 0

Arrumando essa bagunça aí:

z = x 0 y 0 sen ⁡ x 0 y 0 - cos ⁡ x 0 y 0 x 0 - x - x 0 ² y 0 2 sen ⁡ x 0 y 0 y 0 - y + z 0

Passo 5

Beleza, agora que já temos nossa equação do plano tangente, num ponto qualquer, vamos ver se o ponto ( 0,0 , 0 ) obedece isso.

Mas antes, observe que o ponto de tangência P 0 = ( x 0 , y 0 , z 0 ) também satisfaz a equação da função. Então podemos substituir z 0 em termos de x 0 e y 0 . Assim

z = x cos ⁡ x y

z 0 = x 0 cos ⁡ x 0 y 0

Substituindo isso na equação do nosso plano:

z = x 0 y 0 sen ⁡ x 0 y 0 - cos ⁡ x 0 y 0 x 0 - x - x 0 ² y 0 2 sen ⁡ x 0 y 0 y 0 - y + x 0 cos ⁡ x 0 y 0

Passo 6

Agora sim vamos verificar se o ponto ( 0,0 , 0 ) obedece a equação desse plano.

Assim, para x , y , z = ( 0,0 , 0 ) :

z = x 0 y 0 sen ⁡ x 0 y 0 - cos ⁡ x 0 y 0 x 0 - 0 - x 0 ² y 0 2 sen ⁡ x 0 y 0 y 0 - 0 + x 0 cos ⁡ x 0 y 0

0 = x 0 ² y 0 sen ⁡ x 0 y 0 - x 0 cos ⁡ x 0 y 0 - x 0 ² y 0 sen ⁡ x 0 y 0 + x 0 cos ⁡ x 0 y 0

0 = 0

Ou seja, os planos tangentes ao gráfico de f nos pontos de tangencia P 0 = ( x 0 , y 0 , z 0 ) contém a origem.

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