Exercícios Resolvidos de Plano Tangente

Qual é a equação do plano tangente ao gráfico da função f x , y = x cos ⁡ y + x 2 y no ponto x , y = 1,0 ?

a) - x - y + z = 2

b) z = x + y

c) x + y + z = 0

d) x - 1 + y + z - 1 = 0

e) z = 1 - x - y

Passo 1

Cara, para ter o plano tangente a uma superfície, a gente precisa do ponto de tangência, no nosso caso P = 1 , 0 , f 1 , 0 . Vamos achar f 1 , 0 :

f 1 , 0 = 1 cos ⁡ 0 + 1 2 ⋅ 0 = 1

Logo, nosso ponto é

P = 1,0 , 1

Precisamos também de um vetor normal a superfície nesse ponto n → . Aí como a gente o acha?

Podemos ter ele direto das derivadas parciais da nossa função. Com a fórmulinha

n → = f x , f y , - 1

Só que a gente quer no ponto 1,0 , então vamos calcular

n → = f x 1,0 , f y 1,0 , - 1

Bora calcular essas derivadas parciais!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar por f x 1 , 0 . Nossa função é

f x , y = x cos ⁡ y + x 2 y

Aí vamos derivar ela em relação a x , para isso a gente considera y uma constante e usa as regrinhas de derivação mesmo.

f x = ∂ x cos ⁡ y + x 2 y ∂ x = ∂ x cos ⁡ y ∂ x + ∂ x 2 y ∂ x

Vamos tirar as constantes de dentro dessas derivadas, no caso, as funções só de y

f x = cos ⁡ y ∂ x ∂ x + y ∂ x 2 ∂ x = cos ⁡ y + 2 x y

Agora é substituir o ponto 1 , 0 :

f x 1 , 0 = 1 + 0 = 1

Passo 3

Bora calcular f y 1 , 0 . Lembrando da nossa função

f x , y = x cos ⁡ y + x 2 y

Aí vamos derivar ela em relação a x , para isso a gente considera y uma constante e usa as regrinhas de derivação mesmo.

f y = ∂ x cos ⁡ y + x 2 y ∂ y = ∂ x cos ⁡ y ∂ y + ∂ x 2 y ∂ y

Vamos tirar as constantes de dentro dessas derivadas, no caso, as funções só de y

f y = x ∂ cos ⁡ y ∂ y + x 2 ∂ y ∂ y = - x   s e n   y + x 2

Agora é substituir o ponto 1,0 :

f y 1,0 = 0 + 1 = 1

Aí nosso vetor normal fica

n → = f x 1 , 0 ,   f y 1 , 0 , - 1

n → = 1 , 1 , - 1

Passo 4

Como a gente tem tudo, vamos jogar nossos dados na equação do plano:

n → ⋅ x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 = 0

Sendo P = x 0 , y 0 , z 0 = 1,0 , 1 , fica assim:

1 , 1 , - 1 ⋅ x - 1 ,   y - 0 , z - 1 = 0

x - 1 + y - z + 1 = 0

z = x + y

Resposta

Letra b

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