Exercícios Resolvidos de Plano Tangente

Considere as superfícies

S 1 = x , y , z ∈ R 3 : x + z - 6 x y + 6 y z = 1

e

S 2 = x , y , z ∈ R 3 : x 2 + y 2 + z 2 - 2 x z = 1 .

Determine a equação de um plano que seja tangente à superfície S 1 e que contenha o ponto 0 ,   0 ,   0 . Quantos planos existem assim? Por quê?

Passo 1

Vamos seguir o passo a passo de questão de plano tangente. Começamos pegando a equação da superfície e jogando tudo pra esquerda:

x + z - 6 x y + 6 y z - 1 = 0

Agora chamamos o lado esquerdo de f ( x , y , z ) :

f x , y , z =   x + z - 6 x y + 6 y z - 1

Calculamos o gradiente:

∇ f x , y , z = 1 - 6 y ,   - 6 x + 6 z ,   1 + 6 y

Então o gradiente num ponto genérico x 0 ,   y 0 ,   z 0 de S 1 é:

∇ f x 0 ,   y 0 ,   z 0 = 1 - 6 y 0 ,   - 6 x 0 + 6 z 0 ,   1 + 6 y 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então a equação do plano tangente à S 1 em x 0 ,   y 0 ,   z 0 é

x , y , z ⋅ 1 - 6 y 0 ,   - 6 x 0 + 6 z 0 ,   1 + 6 y 0 = x 0 ,   y 0 ,   z 0 ⋅ 1 - 6 y 0 ,   - 6 x 0 + 6 z 0 ,   1 + 6 y 0

Desenvolvendo:

1 - 6 y 0 x + 6 z 0 - 6 x 0 y + 1 + 6 y 0 z = x 0 - 6 y 0 x 0 - 6 x 0 y 0 + 6 z 0 y 0 + z 0 + 6 z 0 y 0

1 - 6 y 0 x + 6 z 0 - 6 x 0 y + 1 + 6 y 0 z = x 0 - 12 x 0 y 0 + 12 z 0 y 0 + z 0

Passo 3

O ponto 0 ,   0 ,   0 pertence ao plano, então vamos substituir x ,   y ,   z = 0 ,   0 ,   0 :

0 + 0 + 0 = x 0 - 12 x 0 y 0 + 12 z 0 y 0 + z 0

⇒ x 0 - 12 x 0 y 0 + 12 z 0 y 0 + z 0 = 0

Passo 4

Também temos que x 0 ,   y 0 ,   z 0 ∈ S 1 , logo:

x 0 + z 0 - 6 x 0 y 0 + 6 y 0 z 0 = 1

Portanto, obtemos o sistema

x 0 - 12 x 0 y 0 + 12 z 0 y 0 + z 0 = 0 x 0 + z 0 - 6 x 0 y 0 + 6 y 0 z 0 = 1

Passo 5

Multiplicando a segunda equação por - 2 :

x 0 - 12 x 0 y 0 + 12 z 0 y 0 + z 0 = 0 - 2 x 0 - 2 z 0 + 12 x 0 y 0 - 12 y 0 z 0 = - 2

Somando as duas equações:

x 0 - 12 x 0 y 0 + 12 z 0 y 0 + z 0 - 2 x 0 - 2 z 0 + 12 x 0 y 0 - 12 y 0 z 0 = - 2

- x 0 - z 0 = - 2

x 0 + z 0 = 2

⇔ z 0 = 2 - x 0

Passo 6

Substituindo isso na segunda equação do sistema:

2 - 6 x 0 y 0 + 6 y 0 2 - x 0 = 1

6 y 0 x 0 - 2 - x 0 = 1

y 0 2 x 0 - 2 = 1 6

⇒ y 0 = 1 12 x 0 - 1

Passo 7

Disso tudo concluímos que existem infinitos planos tangentes a S 1 que passam por 0 ,   0 ,   0 .

Esses planos são tangentes em pontos x 0 ,   y 0 ,   z 0 , de forma que para um x 0 dado, tenhamos y 0 = 1 12 x 0 - 1   e z 0 = 2 - x 0 .

Então por exemplo:

x 0 = 0

⇒ y 0 = - 1 12 z 0 = 2

Portanto, o plano tangente a S 1 em 0 ,   - 1 12 ,   2 é um exemplo de plano que procuramos. Sua equação é:

1 - 6 y 0 x + 6 z 0 - 6 x 0 y + 1 + 6 y 0 z = x 0 - 12 x 0 y 0 + 12 z 0 y 0 + z 0

1 + 6 12 x + 12 - 0 y + 1 - 6 12 z = 0 - 0 - 2 + 2

⇔ 3 2 x + 12 y + 1 2 z = 0

Resposta

3 2 x + 12 y + 1 2 z = 0

Existem infinitos planos assim. Qualquer um serve, desde que respeite as seguintes condições:

1 - 6 y 0 x + 6 z 0 - 6 x 0 y + 1 + 6 y 0 z = x 0 - 12 x 0 y 0 + 12 z 0 y 0 + z 0

com

y 0 = 1 12 x 0 - 1   e   z 0 = 2 - x 0

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