Exercícios Resolvidos de Plano Tangente

Plano Tangente e Reta Normal

Considere o elipsoide x 2 + y 2 + 2 z 2 = 1 . Por quais dos seguintes pares de pontos o elipsoide possui planos tangentes paralelos?

(a) 1 2 , 1 2 , 1 2 e 1 2 , 1 2 , - 1 2 .

(b) 0,1 , 0 e ( - 1,0 , 0 ) .

(c) ( 0,1 , 0 ) e ( 0 , - 1,0 ) .

(d) ( 0,1 , 0 ) e ( 1,0 , 0 ) .

(e) ( 0,0 , 1 ) e ( 0,0 , - 1 ) .

Passo 1

Tranquilo, basta seguir o passo a passo de questão de plano tangente!

Vamos pegar a equação da superfície, jogar tudo pra esquerda, deixando zero na direita:

x 2 + y 2 + 2 z 2 - 1 = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora a gente chama o lado esquerdo de f ( x , y , z ) :

f x , y , z = x 2 + y 2 + 2 z 2 - 1

Assim a equação do elipsoide é

f x , y , z = 0

Passo 3

Calculamos o gradiente da f :

∂ f ∂ x x , y , z = 2 x + 0 + 0 - 0

∂ f ∂ y x , y , z = 0 + 2 y + 0 - 0

∂ f ∂ z x , y , z = 0 + 0 + 2.2 z - 0

⇒     ∇ f x , y , z = ( 2 x , 2 y , 4 z )

Passo 4

E o vetor gradiente é um vetor normal à superfície! Show! Então em um ponto P 0 = ( x 0 , y 0 , z 0 ) do elipsoide, o vetor normal à superfície é ( 2 x 0 , 2 y 0 , 4 z 0 ) .

Ele quer 2 pontos onde os planos tangentes são paralelos, então nesses pontos os vetores normais também têm que ser paralelos, ok?

Digamos P 1 = ( x 1 , y 1 , z 1 ) e P 2 = ( x 2 , y 2 , z 2 ) . Os gradientes de f em P 1 e P 2 são paralelos, logo:

2 x 1 , 2 y 1 , 4 z 1 = λ 2 x 2 , 2 y 2 , 4 z 2 ,     λ ∈ R

⇒ x 1 , y 1 , z 1 = λ x 2 , y 2 , z 2

Ou seja, as coordenadas dos pontos tem que ser múltiplas.

Passo 5

Olhando as opções disponíveis, vemos que duas delas respeitam essa condição, a letra (c) e a letra (e):

(c) P 1 = 0,1 , 0   e   P 2 = ( 0 , - 1,0 )

(e) P 1 = 0,0 , 1   e   P 2 = 0,0 , - 1

Então pra definir qual é a alternativa certa temos que testar se os pontos estão de fato no elipsoide, de equação

x 2 + y 2 + 2 z 2 = 1

Podemos ver que os pontos da alternativa (c) respeitam a equação, o que não acontece pros pontos da alternativa (e)!

Resposta

Alternativa (c)

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