Exercícios Resolvidos de Plano Tangente

Considere a função dada por z = e y ϕ ( x - y ) , em que ϕ é uma função diferenciável de uma variável real.

  1. Suponha que ϕ 0 = a e ϕ ' 0 = b , em que a e b são números reais. Determine a equação do plano tangente à superfície, dada pela equação z = e y ϕ ( x - y ) , no ponto 0 ,   0 ,   a .

Passo 1

A primeira coisa que devemos nos lembrar aqui é qual é a fórmula de equações de plano tangente?

Bem, a fórmula é essa daqui oh

x - x 0 ,   y - y 0 ,   z - z 0 ∙ ∇ F x 0 ,   y 0 ,   z 0 = 0

Beleza? Beleza!!! Mas agora quem são esses caras aí mesmo?

x 0 ,   y 0   e   z 0 é o ponto de interesse, ou seja, x 0 ,   y 0 ,   z 0 = 0 ,   0 ,   a .

Quanto a esse gradiente aí, ele é o gradiente de uma função construída a partir da superfície, se lembra?

Não se lembra? Então me acompanha!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como z = e y ϕ ( x - y ) , se passarmos z para o lado direito, teremos

0 = e y ϕ x - y - z

Agora essa equação aí, podemos considera-la, como uma curva de nível 0 de uma certa função de três variáveis F x ,   y ,   z , portanto:

F x ,   y ,   z = e y ϕ x - y - z

Percebeu? A gente sempre deve chegar nessa função F isolando tudo, como no nosso problema!

Passo 3

Como precisamos do gradiente dele, bora calcular:

∇ F x ,   y ,   z = ∂ F ∂ x ,   ∂ F ∂ y ,   ∂ F ∂ z

Calculando essas derivadas parciais...

∂ F ∂ x = ∂ e y ϕ x - y - z ∂ x = ∂ e y ϕ x - y ∂ x →

∂ F ∂ x = e y ∂ ϕ x - y ∂ x →

Não se esquecendo da regra da cadeia (chamando u = x - y , apenas para simplificar)

∂ F ∂ x = e y ϕ ' u ∙ ∂ u ∂ x   →

∂ F ∂ x = e y ϕ ' u

De forma análoga

∂ F ∂ y = ∂ e y ϕ x - y - z ∂ y

Porém, dessa vez aplicando a regra do produto

∂ F ∂ y = ∂ e y ∂ y ϕ x - y + e y ∂ ϕ x - y ∂ y →

∂ F ∂ y = e y ϕ ( x - y ) + e y ∂ ϕ ( x - y ) ∂ y

E agora a regra da cadeia

∂ F ∂ y = e y ϕ x - y - e y ϕ ' ( u )

Quanta á ultima derivada do gradiente:

∂ F ∂ z = ∂ e y ϕ x - y - z ∂ z = - 1

Logo, concluímos que o vetor gradiente é

∇ F x ,   y ,   z = e y ϕ ' u ,   e y ϕ u - e y ϕ ' u ,   - 1

Ou melhor

∇ F x ,   y ,   z = e y ϕ ' x - y ,   e y ϕ x - y - e y ϕ ' x - y ,   - 1

Passo 4

Substituindo agora o ponto de interesse, ou seja, ( 0 ,   0 ,   a ) , nesse vetor gradiente que acabamos de encontrar, vamos encontrar

∇ F 0 ,   0 ,   a = e 0 ϕ ' 0 - 0 ,   e 0 ϕ 0 - 0 - e 0 ϕ ' 0 - 0 ,   - 1 →

∇ F 0 ,   0 ,   a = ϕ ' 0 ,   ϕ 0 - ϕ ' 0 ,   - 1 →

Lembrando do enunciado que nos diz que ϕ ' 0 = b e ϕ 0 = a

∇ F 0 ,   0 ,   a = b ,   a - b ,   - 1

Bem mais simples neh?

Passo 5

Mas enfim, retornando a equação do plano tangente, ou seja...

x - x 0 ,   y - y 0 ,   z - z 0 ∙ ∇ F x 0 ,   y 0 ,   z 0 = 0 →

x - 0 ,   y - 0 ,   z - a ∙ ∇ F 0 ,   0 ,   a = 0

Substituindo esse gradiente

x ,   y ,   z - a ∙ b ,   a - b ,   - 1 = 0

Efetuando esse produto interno de vetores...

b x + a - b y - z + a = 0

E eis a equação do plano tangente

Resposta

b) b x + a - b y - z + a = 0

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