Exercícios Resolvidos de Plano Tangente

UFPE, Cálculo 2, EE1, 2016.1, questão 3b

Considere a função:

f x , y = 5 x 2 + y 2

  1. Utilizando a derivação implícita, escreva a equação do plano tangente a função no ponto 1,2 .

Passo 1

Podemos definir:

z = 5 x 2 + y 2

Ajeitando:

F = z 2 - 5 x 2 - y 2 = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Derivando a equação acima implicitamente em relação a x :

∂ z ∂ x = - F x F z = - - 10 x 2 z = 5 x z

∂ z ∂ y = - F y F z = - - 2 y 2 z = y z

Passo 3

No ponto dado:

z = 5 1 2 + 2 2 = 3

∂ z ∂ x = 5 x z = 5 1 3 = 5 3

∂ z ∂ y = y z = 2 3

Passo 4

Substituindo na equação do plano tangente:

z - z 0 = ∂ z ∂ x x - x 0 + ∂ z ∂ y y - y 0

z - 3 = 5 3 x - 1 + 2 3 y - 2

Resposta

b) z - 3 = 5 3 x - 1 + 2 3 y - 2  

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