Exercícios Resolvidos de Plano Tangente

UFRJ, Cálculo 2, P2 2013.1, questão 1

Considere a superfície S formada pelos pontos x , y , z ∈ R 3 satisfazendo a equação

x y z = e β x

Onde β é um número real.

  1. Escreva a equação do plano tangente a S no ponto P 0 = 3 , 1 3 ,   e 3 β ∈ S
  2. Encontre β de modo que o plano tangente a S no ponto P 0 contenha a origem.

Passo 1

a)

Para o plano tangente primeiro encontrar o vetor n → . Começamos fazendo

x y z = e β x

F x , y , z = x y z - e β x

Vamos agora achar o gradiente de F

∇ F = y z - β e β x , x z , x y

Lembra que o vetor normal é o gradiente substituindo o valor??

n → = 1 3   e 3 β - β e 3 β , 3   e 3 β , 3 ⋅ 1 3

n → = 1 3   e 3 β - β e 3 β , 3   e 3 β , 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A equação do plano é:

x , y , z ⋅ n → = P 0 ⋅ n →

Substituindo os valores

x , y , z ⋅ 1 3   e 3 β - β e 3 β , 3   e 3 β , 1 = 3 , 1 3 ,   e 3 β ⋅ 1 3   e 3 β - β e 3 β , 3   e 3 β , 1

x 1 3   e 3 β - β e 3 β + 3 y   e 3 β + z = e 3 β - 3 β e 3 β +   e 3 β + e 3 β

x 1 3   e 3 β - β e 3 β + 3 y   e 3 β + z = 3 e 3 β - 3 β e 3 β

Passo 3

b)

Se ele contem a origem então podemos substituir a origem na equação do plano e achar a equação para β

x 1 3   e 3 β - β e 3 β + 3 y   e 3 β + z = 3 e 3 β - 3 β e 3 β

0 1 3   e 3 β - β e 3 β + 3 ⋅ 0   e 3 β + 0 = 3 e 3 β - 3 β e 3 β

0 = 3 e 3 β - 3 β e 3 β

0 = 3 e 3 β 1 - β

Como exponencial é sempre positivo

1 - β = 0

β = 1

Resposta

  1. x 1 3   e 3 β - β e 3 β + 3 y   e 3 β + z = 3 e 3 β - 3 β e 3 β
  2. β = 1

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