Exercícios Resolvidos de Plano Tangente

Derivadas Parciais e o Vetor Gradiente, Plano Tangente e Reta Normal

Considere a função f x , y = x ψ x y em que ψ : R → R é uma função diferenciável. Mostre que o plano tangente ao gráfico de f em um ponto arbitrário a , b , f a , b passa pela origem.

Passo 1

Bom, vamos prosseguir como se nada estivesse acontecendo que uma hora aparece essa sacada de plano passar pela origem ou não... Olhe para frente e mantenha a calma ;) Quando nos pedem pra encontrar plano tangente em um ponto dado, qual é a primeira coisa que fazemos? Encontramos as derivadas parciais da nossa função e formamos o vetor gradiente. Então, exatamente isso que faremos agora!

Se

z = f x , y = x ψ x y

Então,

F x , y , z =   x ψ x y - z

E

F x x , y = 1 . ψ x y + ψ ' x y . 1 y . x

Coloquei esses 1 desnecessários aí só pra ilustrar que estamos usando a regra do produto e a regra da cadeia. Veja se não dá pra ler “derivada do primeiro vezes o segundo, mais a derivada do segundo vezes o primeiro”. Não esqueça que essa “derivada do segundo”, ψ x y . 1 tem uma regra da cadeia!

Fazendo o mesmo para a derivada em relação a y , teremos:

F y x , y = x . ψ ' x y . - x y 2

E derivando em relação a z , temos simplesmente - 1 :)

E o nosso vetor gradiente fica:

∇ F x , y , z = ψ x y + x y . ψ ' x y , - x 2 y 2 . ψ ' x y ,   - 1

Como x 0 , y 0 , z 0 = a , b , f a , b , então o vetor gradiente para tal ponto é:

∇ F a , b , f a , b = ψ a b + a b . ψ ' a b , - a 2 b 2 . ψ ' a b ,   - 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Ok, próximo passo é fazer o produto escalar entre o vetor gradiente e o nosso vetor genérico x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 . Como x 0 , y 0 , z 0 = a , b , f a , b , o plano tangente é dado por:

ψ a b + a b . ψ ' a b , - a 2 b 2 . ψ ' a b ,   - 1 . x - a , y - b , z - a ψ a b = 0

Pois o produto escalar entre o vetor gradiente e um vetor do plano tangente é sempre 0 !

Passo 3

Agora que temos (ainda que de forma não expandida) a equação do nosso plano para um ponto genérico e uma função genérica ψ , vamos matar o problema numa tacada só. Veja bem, o que significa dizer que a origem está contida no nosso plano? Essa sentença é a mesma coisa que perguntar se 0,0 , 0 satisfaz a equação do plano, ou seja, se substituindo x , y , z por 0,0 , 0 encontraremos algo do tipo 0 = 0 e não do tipo 5 = 0 , sacou? Então vamos pegar, os lugares onde aparece x , y ou z e trocar por 0   :D só isso.

ψ a b + a b . ψ ' a b , - a 2 b 2 . ψ ' a b ,   - 1 . 0 - a , 0 - b , 0 - a ψ a b = 0

Agora desenvolvemos esse produto escalar:

- a .   ψ a b - a . a b . ψ ' a b - b . - a 2 b 2 . ψ ' a b - a ψ a b . - 1 = 0

- a .   ψ a b - a b 2 . ψ ' a b + a 2 b . ψ ' a b + a ψ a b = 0

Cortando os termos opostos,

0 = 0

Perfeito! Acabamos de provar que a expressão do plano aceita o ponto 0,0 , 0 , logo, a origem está contida no plano!

Resposta

A origem pertence ao plano tangente.

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